案例二十六——模数滤波器桥之冲击响应不变法

内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤IIR数字低通滤波器设计IIR数字高通滤波器设计IIR数字带通滤波器设计IIR数字带阻滤波器设计思考题总结报告要求

案例设置目的通过实验理解冲击响应不变法的思想；掌握基于冲击响应不变法的数字滤波器设计方法与步骤；理解冲击响应不变法的优缺点。

相关基础理论模拟滤波器的设计已经非常成熟，根据滤波器通带、阻带的幅度要求就可以方便地确定模拟滤波器传递函数Ha(s)。问题是模拟滤波器传递函数Ha(s)确定之后，如何得到既稳定且又符合指标要求的数字滤波器系统函数H(z)呢？常用的映射方法有阶跃响应不变法、冲击响应不变法和双线性变换法，后两者更为常用，本案例重点讨论冲击响应不变法。有些资料中也将冲击响应不变法称为脉冲响应不变法，这取决于相应资料中是将模拟滤波器对于δ(t)的响应称为单位冲击响应还是单位脉冲响应。假设N阶模拟滤波器传递函数为Ha(s)，且Ha(s)的分子多项式的阶数低于分母多项式的阶数，则有如下关系成立：（26.1）对Ha(s)做Laplace反变换得到系统的单位冲击响应ha(t)（26.2）式中si为传递函数单阶极点；Ai为分式增益系数；u(t)为单位阶跃函数。

相关基础理论对单位冲击响应ha(t)以T为间隔进行均匀采样，得到的时域采样序列用h(n)表示，即（26.3）对h(n)进行Z变换得（26.4）对于Laplace复数变量s，设其实部虚部形式可表示为s=σ+jΩ，并令式（26.4）可改写成（26.5）

相关基础理论综合式（26.1）~（26.6），基于冲击响应不变法的数字IIR滤波器设计（ImpulseInvarianceDesignmethod--PID）方法与步骤可概括如下。PIDStep1：设计出满足指标要求的模拟滤波器，得出传递函数Ha(s)。PIDStep2：把Ha(s)表示为如式（26.1）的部分分式和的形式。PIDStep3：利用z=esT的映射关系，将S平面上Ha(s)的极点si变换成Z平面上H(z)的极点，并按照式（26.6）整理出数字滤波器的系统函数H(z)。对于稳定的模拟滤波器，式（26.1）中传递函数的极点si必定在S平面的左半平面，即?i取负值。因?i取负值，所以根据式（26.5）和式（26.6）可知，H(z)的极点必然在单位圆内，即通过对模拟滤波器的单位冲击响应进行采样得到数字滤波器的方式，保证了变换前后系统的稳定性。尽管冲击响应不变法可以保证部分分式表示形式的Ha(s)和H(z)的每个增益系数Ai对应相等，S平面上的每个极点与Z平面上的每个极点位置能一一对应，但是不保证零点之间的对应关系。

相关基础理论单位冲击响应ha(t)采样前后的频谱特性对应关系体现为：Ha(s)在S平面的虚轴上的频率特性对应H(z)系统函数在Z平面单位圆上的频率特性，且有