案例二十九——IIR数字滤波器的结构

内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤原理初探不同结构实际系统测试思考题总结报告要求

案例设置目的通过实验直观理解各种结构IIR数字滤波器的时间效率；理解IIR滤波器各种结构的特点及实现方法；掌握用MATLAB实现IIR数字滤波器各种结构的方法及各种结构滤波器的使用。

相关基础理论数字滤波器作为一个重要的数据处理系统或功能模块，从设计到应用一般都要经过这样的过程：（1）设计IIR或FIR滤波器得到系统函数H(z)（多项式系数矩阵b和a表示或零极点矩阵z、p、k表示）或单位脉冲响应h(n)；（2）选择合适的滤波器结构，用硬件或软件实现所设计的滤波器；（3）让数据通过滤波器，或将滤波处理施加于数据x。在MATLAB环境下，有些设计工具能直接生成满足性能指标的指定结构的滤波器，如FDATool。从时域看，数字滤波器对信号的处理通常可以用以下两种形式表示：（29.1）（29.2）

相关基础理论式（29.1）将n时刻的输出表示成了系统的单位脉冲响应h(n)与输入x(n)的卷积，卷积运算本身就是滤波器实现的一种方式，仅涉及加法、乘法和延迟等简单运算。式（29.2）将n时刻的输出表示为有限项的乘加运算。滤波器结构对于滤波器的实现而言至关重要，它直接决定着资源占用的多少、实现误差的大小、处理的实时性等。观察式（29.1）和（29.2）可知，数字滤波器的实现需要乘法器、加法器和存储器等资源，结构不同资源的消耗也不一样，比如对于IIR滤波器而言，直接Ⅱ型用的延时单元最少；对于FIR滤波器而言，线性相位结构使用的乘法器可以减半。量化是一非线性过程，不同的滤波器结构量化的对象不同，量化误差的积累方式也不同，比如级联型结构就对舍入误差较为敏感。串行结构中处理是顺次进行的，处理工作不便同时展开，而并行结构可以充分利用CPU的并行处理能力，实现实时性大为提高，因此在速度要求高的场合，往往不选择递归结构的IIR滤波器，而是要选择非递归结构的FIR滤波器。

相关基础理论1．直接I型（Direct-formI）设式（29.2）描述的为LTI系统，系统的单位脉冲响应为h(n)，系统函数为H(z)，对差分方程两端进行双边Z变换并整理可得（29.3）其中由式（29.2）可知，系统在n时刻的输出y(n)是由当前时刻的输入、所有前M时刻输入以及所有前N时刻的输出共同决定的，它们各自对输出y(n)的贡献分别由系数矩阵b和a共同决定。将差分方程描述的输入与输出的关系直接用信号流图表示，即可以得到如图29.1所示的形式，该滤波器结构又称为直接I型。

相关基础理论图29.1所示的信号流图中左半部分（左侧虚框内的网络）对应的子系统函数为H1(z)，因此该部分又称为零点网络，由信号流图中的前向支路构成。相应地，图29.1所示的信号流图中右半部分对应的子系统函数为H2(z)，称为极点网络，由信号流图中的反馈支路构成。滤波器实现时，量化器量化的对象是系统函数H(z)的多项式系数矩阵b和a。

相关基础理论2．直接II型（Direct-formII）将式（29.3）改写为（29.4）即在用信号流图表示系统函数时，要将H2(z)描述的极点网络置于H1(z)描述的零点网络左侧，如此得到滤波器的直接II型结构，如图29.2所示。图29.2（a）和图29.2（b）完全等价，后者是前者等值节点合并的结果，合并后使得延迟单元的使用个数减少，当M与N接近时，延迟单元可以