案例二十二——Butterworth型模拟滤波器设计

内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤设计Butterworth型模拟低通滤波器验证设计的滤波器幅频特性思考题总结报告要求

案例设置目的通过step-by-step模式设计模拟Butterworth滤波器，掌握该类模拟滤波器设计方法与步骤，理解Butterworth滤波的通带、阻带特性以及指标富余量的概念，掌握借助MATLAB函数设计Butterworth模拟低通滤波器的方法步骤，理解MATLAB相关函数的算法基础。

相关基础理论模拟低通Butterworth滤波器的幅频响应在通带和阻带均是单调下降的，过渡带宽度直接受制于滤波器的阶数N。模拟低通Butterworth滤波器是以平方幅度函数定义的（22.1）式中N为模拟滤波器的阶数；?c为半功率点频率，或3dB截止频率。若将?c看作进行归一化的单位，且将?/?c记为?，即?=??/?c，则式（22.1）可改写为（22.2）式（22.2）对应的函数曲线如图22.1所示。由图22.1可以看出，Butterworth滤波器平方幅度函数的值随着?的增加是单调下降的。对于阻带而言，当?某个取值处的衰减满足指标要求了，则其后边的幅度值肯定会衰减更大，因此设计出的滤波器常会有指标出现富余量的情况。

相关基础理论由式（22.1）可以推导出Butterworth平方幅度函数对应的稳定系统的传递函数，即（22.3）其中，DN(s)，称为N阶Butterworth多项式，极点pl由下式给出：（22.4）归一化的Butterworth传递函数的形式为（22.5）其中，（22.6）综合式（22.3）、（22.4）可知，Butterworth滤波器传递函数中有两个待确定量，分别是N和?c。将低通滤波器的边界频率指标（通带边界频率?p和阻带边界频率?s）代入式（22.1），并计算相对于最大幅度1的衰减可得（22.7）

相关基础理论对于低通滤波器而言，按照幅度衰减指标要求，通带边界频率?p处相对于最大幅度的实际衰减t?p不能超过给定指标?p，阻带边界频率?s处相对于最大幅度的实际衰减t?s不能小于给定指标?s，即