案例二十——加窗截出FIR滤波器

内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤准备原声信号窗函数法设计FIR选频滤波器过渡带的选择伤不起FIR滤波器时延和计算量分析思考题总结报告要求

案例设置目的通过严格按照窗函数法的步骤设计FIR低通、高通、带通和带阻滤波器，并验证其效果，掌握FIR滤波器窗函数法的设计思想和方法，进一步理解各类型滤波器的功效；理解FIR滤波器阶数与过渡带宽之间的关系；理解处理时延、运算量与滤波器阶数的关系。

相关基础理论1．窗函数设计思想窗函数法设计FIR数字滤波器的思路是从目标滤波器的理想模型出发，通过加窗或截取的方法得到满足设计指标的滤波器，是一种直接逼近方式，逼近程度取决于窗的长度和窗的类型。理想数字低通、高通、带通和带阻滤波器的频率响应均可以用来表示，四种理想滤波器的幅频响应|H(ejω)|分别如图20.1所示。

相关基础理论对于线性相位的理想数字滤波器而言，其频率响应通常用H(ej?)=H(?)ej?(?)表示，其中H(?)为?的实函数，?(?)为?的线性函数。假设上述所有理想数字滤波器的相频响应均满足第一类线性相位条件，即?(?)=???，其中?为常数。利用傅里叶反变换，可以求得理想数字滤波器的单位脉冲响应。理想数字低通滤波器的单位脉冲响应为（20.1）理想数字高通滤波器的单位脉冲响应为（20.2）理想数字带通滤波器的单位脉冲响应为（20.3）理想数字带阻滤波器的单位脉冲响应为（20.4）

相关基础理论图20.2所示?1=π/8，?2=3π/8，?=100时各理想滤波器脉冲响应在n取0～200范围内的值（为更加明显地显示样点值的极性变化，图20.2中画的是序列的包络而并非离散样点值，且最大幅度都归一化为1）。可以看出，第一类线性相位理想数字滤波器的单位脉冲响应都是无穷长的实数序列，即具有无限长脉冲响应（IIR），且呈偶对称特性，幅度绝对值最大值出现在对称中心n=?处或最接近?的两个样点上，偏离对称中心越远，相对幅度越小。

相关基础理论根据序列离散时间傅里叶变换的定义，绝对可和的序列x(n)与X(ej?)存在如下关系：（20.5）式（20.5）中X(ej?)可以看成是复序列e?jn?的线性加权和，加权系数x(n)的取值大小决定着相应复谐波分量e?jn?在序列谱中的权重。对于线性相位理想数字滤波器的单位脉冲响应而言，幅度绝对值较大的样点都集中在对称中心附近，这些样点将对滤波器的频率响应起到主要作用。如果只允许选择有限个样点作为一个系统的单位脉冲响应，当然在对称中心周围对称选择有限个样点得到的序列对应的频率响应与理想滤波器的频率响应最为近似，而且允许选取的点数越多越相近，这是窗函数法设计FIR滤波器的重要基础。

相关基础理论2．窗函数法设计FIR滤波器方法与步骤用窗函数截取理想数字滤波单位脉冲响应的过程在数学上描述为