案例八——离散时间傅里叶变换离散着算

内容概要

案例设置目的

相关基础理论

情境任务及步骤

一般信号DTFT的计算

矩形序列形式单位取样响应的频率响应

能量和能量谱密度计算

思考题

总结报告要求

案例设置目的

通过编制计算任意序列离散时间傅里叶变换的程序，理解离散时间傅里叶变换的定义、性质，建立幅频函数、相频函数、信号能量和能量密度的概念，掌握模拟信号能量和时域离散序列能量的关系，理解幅频响应的线性表示和对数表示的优缺点。

相关基础理论

1．序列的离散时间傅里叶变换

时域离散信号x(n)若满足绝对可和条件，则其离散时间傅里叶变换（DTFT）存在，且有：

（8.1）

或者将ω的连续的复函数改写为

（8.2）

或者（8.3）

其中，表示复函数的模值或幅度，反映了信号的幅频特性；表示复函数

的相位角，为信号的相频特性，它们与复函数的实部、虚部的关系为

（8.4）

（8.5）

若线性时不变（LTI）系统的单位取样响应用h(n)表示，对序列h(n)做DTFT的结果记为

称为系统的幅频响应，称为系统的相频响应。

图6.1采样开关及其数学描述

相关基础理论

2．序列DTFT的计算

因为是以2π为周期的连续函数，因此从一个周期就可以了解到的全貌。而在一个周期内的值，可以借助数值计算工具通过计算足够多的离散点?k上的值近似得到。

当x(n)为有限长序列，即仅在的范围内x(n)才有非零值，其中N1和N2为任意整数。令，此时式（8.1）可改写为

（8.6）

从式（8.6）可以看出，离散点?k上值的计算转化为次多项式在?k上计算的值。此时可以调用MATLAB的内置函数polyval实现，或者用矩阵直接计算，即

（8.7）

情境任务及步骤

一、一般信号DTFT的计算

1．信号产生

设x(n)=R6(n)，在Figure1中画出x(n)～n的图，n取?10～10，图中表示每个样值大小的线的末端用实心圈，并要求标注横坐标。

2．编程计算x(n)的DTFT

（1）根据式（8.6）编制程序，计算X(ejω)在?取?5π∶π/100∶5π时的值。建议调用polyval函数。

（2）在Figure2中画出幅频特性图和相