第三章导数及其应用
第三节导数与函数的极值、最值
知识点31利用导数研究函数的极值问题
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可导函数在某点处取得极值的条件：
必要条件
可导函数y=f(x)
充要条件
可导函数y=f(x)在x=x0
课标要求：借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
易错提醒：函数的极值点不是点,是使函数f(x)取得极值的x的值,是一个实数
题型分类：①求函数的极值或极值点的个数；②已知函数的极值(点)求参数:14-T5.
教材素材变式
1.[多选][人A选必二P92练习第1题变式]已知函数f(x)的导函数f
A.点(1,0
B.f(x)
C.f(x)
D.f(x)
2.[2023新高考II卷]函数f(x)=(
A.0B.1C.2D.3
3.[2025广东模拟][多选]设函数f(x)=ex(x2?
A.2B.3C.4D.5
4.[2024浙江高考]若函数f(x)=
变式探究
变式1：已知极值求参
[2023北京高考]已知函数f(x)=x3+m
变式2：在区间上有极值
[2024江苏模拟]若函数f(x)=ex?kx
A.(e,e3)B.
知识点32利用导数研究函数的最值问题
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求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的方法：
1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(递减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值.
2.若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,则要先求出函数f(x)在(a,b)上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值。
3.若函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,则这个极值点一定是最值点.
注意：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,一般要根据函数的极值及单调性画出函数的大致图象,借助图象求解.
题型分类：①求函数的最值②已知函数的最值求参数③函数的最值的应用.
教材素材变式
1.[2024全国乙卷]函数f(x)=xcos
A.0,?πB.π2,?π2
2.[2025山东模拟][多选]已知函数f(x)=
A.f(x)在
B.f(x)
C.若x∈[0,t
D.f(
3.[2023新课标I卷]当x=1时，函数f(x)=
A.?1B.?12C.1
变式探究更新
变式1：区间含参求最值
[2024天津高考]若函数f(x)=x3
变式2：最值的应用
[2025湖南模拟]已知函数f(x)=lnx+1x
知识点31利用导数研究函数的极值问题
教材素材变式
1.答案：B,C,D
解析：
A选项：点(1,0
B选项：x=?1处导数为零且两侧导数异号，故f(
C选项：在区间(?1,2)上，导数
D选项：x=
2.答案：C
解析：求导f′(x)=xex?x2=x(ex?x)，令f′(x)=0，得x
3.答案：B,C
解析：f′(x)=ex[x2+(2?a)x+(1?a)]，由
4.答案：b
解析：f′(x)=x2?
变式1：答案：?
解析：f(1)=1+m+n=?
变式2：答案：A
解析：f′(x)=e
知识点32利用导数研究函数的最值问题
教材素材变式
1.答案：A
解析：f′(x)=?xsinx，在[0,π]上f′(
2.答案：A,B,C,
解析：f′(x)=2x?x2ex，极值点x=0,2，x
3.答案：C
解析：f′(1)=a
变式1：答案：(?
解析：f′(x)=3(x2?1)
变式2：答案：1
解析：不等式化为a≥lnxx+1x
g(x)递减，g(1