*第30页，共52页，星期日，2025年，2月5日例:一个盒子中有n(n1)只晶体管，其中有一只次品，随机地取一只测试，直到找到次品为止.求在第k(1≤k≤n)次测试出次品的概率.解:设Ai={第i次测试的是正品}Bk={第k次测试到次品}，则*第31页，共52页，星期日，2025年，2月5日例在100件产品中有3件次品，现从中连取两次，每次取一件，取后不放回，试求下列事件的概率：(1)两次都是正品(2)一件正品，一件次品(3)第一次、第二次正品，第三次次品解设A1＝{第一次取到正品}，A2＝{第二次取到正品}，A1A2={两次都是正品}P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=97/100×96/99≈0.94*第32页，共52页，星期日，2025年，2月5日(2)“一件正品，一件次品”可用事件表示，并且互不相容，故*第33页，共52页，星期日，2025年，2月5日(3)第一次、第二次正品，第三次次品*第34页，共52页，星期日，2025年，2月5日在此例中，若将取的方式改为有放回，此时由此可看出，虽然求的设同一事件的概率，由于取法不同，因而事件的概率也不同。对于不放回的取法，事件A1的发生与否影响到事件A2发生的概率；而对于有放回的取法，事件A2的概率不因事件A1发生与否而受到影响，此时，我们称两个事件相互独立。*第35页，共52页，星期日，2025年，2月5日事件的独立性定义1.3.2若事件A与B满足P(AB)=P(A)P(B)则称A与B相互独立，简称A与B独立。*第36页，共52页，星期日，2025年，2月5日若A,B相互独立，由条件概率的定义及独立性的定义知同理，A,B相互独立以上两个式子也可作为两个事件相互独立的定义*第37页，共52页，星期日，2025年，2月5日*第1页，共52页，星期日，2025年，2月5日1.概率的加法公式定理1.3.1若事件A，B互不相容，则称为概率的加法公式证明：（仅就古典概型证明）设在某一条件下将试验重复进行n次，即基本事件总数为n.其中事件A包含的基本事件数为m1，事件B包含的基本事件数为m2，*第2页，共52页，星期日，2025年，2月5日由古典概率的定义得:P（A）=，P（B）=由于A与B互不相容，故事件A+B包含的基本事件数为m1+m2同样由古典概率的定义有故概率的加法公式成立*第3页，共52页，星期日，2025年，2月5日推广：若事件两两互不相容，则*第4页，共52页，星期日，2025年，2月5日推论1事件A的对立事件的概率为证明：*第5页，共52页，星期日，2025年，2月5日例:一批产品共50件，其中有5件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率．解法1设A={取到的3件产品中有次品}；Ai={取到的3件产品中恰有i件次品}(i=1,2,3)则由定理得*第6页，共52页，星期日，2025年，2月5日解法2设A={取到的3件产品中有次品}；={取到的3件产品中无次品}，则根据定理的推论得*第7页，共52页，星期日，2025年，2月5日证明:由A?B知A=B∪(A-B)，且B(A-B)=?,推论2:设A,B是两个事件，若A?B，则有P(A-B)=P(A)-P(B)因此由概率的有限可加性得P(A)=P(B)+P(A-B)从而有P(A-B)=P(A)-P(B)BA-BA*第8页，共52页，星期日，2025年，2月5日BA定理1.3.2设A，B为任意两事件，则证明：因为A+B=，并且与B互不相容，于是又由于AB*第9页，共52页，星期日，2025年，2月5日对于三个随机变量，类似地有P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)