*第1页，共34页，星期日，2025年，2月5日9.3层次分析法的若干问题层次分析法问世几十年来不仅得到广泛的应用，而且在理论体系、计算方法以及建立更复杂的层次结构等方面都有着很快的发展。本节将着重从应用的角度分析几个问题。1、正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵。在层次分析中用对应它的最大特征根的特征向量最为权向量，用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验。*第2页，共34页，星期日，2025年，2月5日这里人们首先碰到的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度，特别，当一致性指标为零时，它是否就变为一致阵。下面两个定理可以回答这些问题。定理1对于正矩阵A(A的所有元素为正数），1）A得最大特征根是正单根λ；2）λ对应正特征向量w（w得所有分量为正数）；3）*第3页，共34页，星期日，2025年，2月5日其中e=(1,1,…，1）T,w是对应λ的归一化特征向量。定理1）、2）是著名的Perron（1907）定理的一部分，3）可以通过将A化为表征证明。定理2）n阶正互反阵A的最大特征根λ≥n;当λ=n时A是一致阵。[证明]设A的对应于λ的特征向量为w=(w1,w2,…，wn),由定理1，λn,w0.不妨将A的元素aij记做（1）*第4页，共34页，星期日，2025年，2月5日由A的正互反性，（2）根据特征根和特征向量的定义（3）将（1）代入（3）并对i求和得（4）*第5页，共34页，星期日，2025年，2月5日利用（2）式并注意到εij=1，（4）式可化为（5）因为恒有（6）而（5）式中Σ和号内共项，所以（5）、（6）给出（7）*第6页，共34页，星期日，2025年，2月5日此即定理的第1部分。当λ=n时由（5）、（6）式可知必有（8）于是，由（1）知满足一致阵条件（9.1节（4）式），A是一致阵。*第7页，共34页，星期日，2025年，2月5日定理2和9.1节所述的一致阵的性质表明，n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为，A的最大特征根λ=n。上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的理论根据。*第8页，共34页，星期日，2025年，2月5日2、正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法。众所周知，利用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高的时候。另一方面，因为成对比较阵基本上是定义比较的量化结果，对它做精确计算是不必要的、，所以完全可以用简便的近似算法计算特征值和特征向量，下面介绍几种。*第9页，共34页，星期日，2025年，2月5日（1）幂法步骤如下a.任取n维归一化初始向量w(0)b.计算c.归一化，即令d.对于预先给定的精度ε，当|wi(k+1)-wik|ε(i=1,2,…，n),w(k+1)即为所求的特征向量；否则返回b.*第10页，共34页，星期日，2025年，2月5日e.计算最大特征根这是求最大特征根对应特征向量的迭代法，其收敛性由定理1的3）保证。w(0)可任取或取为下面方法得到的结果。*第11页，共34页，星期日，2025年，2月5日（2）和法步骤如下a.将A的每一列向量归一化得b.将按行求和得c.将归一化*第12页，共34页，星期日，2025年，2月5日即为近似特征向量。d.计算，作为最大特征根的近似值。这个方法实际上是将A的列向量归一化后取平均值，作为A的特征向量。因为当A为一致阵时它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不严重，则取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。*第13页，共34页，星期日，2025年，2月5日（3）根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b该为b/.对按行求积并开n次方根法是将和法中求列向量的算术平均值该为求几何平均值。以上3个方法中以和法最简单。用它计算一个例子*第14