第五章数值积分;1、积分的概念;黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一,著作不多，却异常深刻，富于对概念的创造与想象，思想极其深邃难以理解。许多奠基性、创造性的工作，直接影响了19世纪以后的数学发展，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。;■完善微积分理论的出杰人物之一
微积分理论严谨性论证的杰出贡献者有：黎曼、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱、维尔斯特拉斯等等。柯西证明连续函数必定可积，黎曼指出可积函数不一定连续。黎曼推广了博里叶展开式成立的狄利克莱条件，即三角级数收敛的黎曼条件等等。
■解析数论、与复变函数的里程碑
■组合拓扑的开拓者
■代数几何的奠基人
■在数学物理、微分方程等领域贡献卓著;2、积分的计算;如果为初等函数，能得到的;?(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的
有限形式表示的原函数F(x)，例如：
Newton-Leibnitz公式就无能为力了;(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数
关系由表格或图形表示。
对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算定积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。
将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。;一、数值积分的基本思想
积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如下图所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x);左矩形公式;回顾我们高等数学所学定积分的求取;二、代数精度的概念;即满足;如梯形公式;第15页，共62页，星期日，2025年，2月5日;构造数值求积公式实际上是求;三、插值型求积公式;第18页，共62页，星期日，2025年，2月5日;四、求积公式的收敛性和稳定性;第20页，共62页，星期日，2025年，2月5日;一、Cotes系数;第22页，共62页，星期日，2025年，2月5日;第23页，共62页，星期日，2025年，2月5日;;当时;由;当时;此时，求积公式为;当时可得;Cotes系数表;系数特点和稳定性;1、考虑Simpson公式;Simpson公式具有三次代数精度;定理n为偶数时求积公式;;所以;同理;例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分;由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于n≥8时的牛顿—柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生公式。;复化求积公式可以克服高次Newton-Cotes公式计算不稳定的问题,运算简单且易于在计算机上实现。;一、复化梯形公式;第42页，共62页，星期日，2025年，2月5日;二、复化辛普森公式;余项：;xi;误差分析;例：计算;一、梯形法的递推化——逐次分半法;注意到每个子区间[xk，xk+1]经过二分只增加了一个分点xk+1/2＝(xk+xk+1)/2，用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为;当把积分区间分成n等份，用复化梯形
公式计算积分I的近似值时，截断误差为;可见,当步长二分后误差将减至,将
上式移项整理，可得验后误差估计式;这样不断二分下去，计算结果如下表所示。积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果。;;二、龙贝格算法
变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式。龙贝格公式又称逐次分半加速法。
根据积分区间分成n等份和2n等份时的误差估计式可得;(6.9);再考察辛卜生法。其截断误差与成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至，即有;用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式;