牛顿迭代法（略讲）基本思想是将非线性函数f(x)逐步线性化,从而将非线性方程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。迭代格式构建方法：泰勒公式一阶展开式。忽略高次项,用其线性部分作为函数f(x)的近似，第31页，共51页，星期日，2025年，2月5日牛顿迭代法的收敛性定理4设是方程的单根,且f(x)在的某邻域内有连续的二阶导数,则牛顿法在附近局部收敛,且至少二阶收敛,有证:牛顿迭代公式对应的迭代函数为若是方程的单根,则有,从而由定理2知,牛顿迭代法在附近局部收敛。又由定理3知,迭代公式至少具有二阶收敛速度。第32页，共51页，星期日，2025年，2月5日利用泰勒公式所以证毕第33页，共51页，星期日，2025年，2月5日yx0B=x0f′′(x)0xn+1X*ayx0Bf′′(x)0a=x0yx0B=x0f′′(x)0ayx0Bf′′(x)0a=x0第34页，共51页，星期日，2025年，2月5日yx10x0X*0x0X*x2不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况第35页，共51页，星期日，2025年，2月5日例8用牛顿迭代法求x=e-x的根,ε=10-4 取x0=0.5,逐次计算得x1=0.57102,x2=0.56716，x3=0.56714解：因f(xk)=xex–1,f′(x)=ex(x+1) 建立迭代公式第36页，共51页，星期日，2025年，2月5日第1页，共51页，星期日，2025年，2月5日本章处理二分法和牛顿法在第二节课已讲过。加深算法收敛性方面的理解。介绍几种新方法。第2页，共51页，星期日，2025年，2月5日引言在科学研究和工程设计中,经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0的求根问题，其中f(x)为非线性函数。方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点如果f(x)可以分解成,其中m为正整数且,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m1)当且仅当第3页，共51页，星期日，2025年，2月5日记笔记当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。一般称n次多项式构成的方程为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法第4页，共51页，星期日，2025年，2月5日数值解法步骤①?判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来，这个过程实际上是获得方程各根的初始近似值。③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止第5页，共51页，星期日，2025年，2月5日二分法（略）复习作业题第6页，共51页，星期日，2025年，2月5日不动点迭代对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公式求其精确解,需要设计近似求解方法,即迭代法。它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。迭代法的基本思想为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭代的等价方程其中为x的连续函数第7页，共51页，星期日，2025年，2月5日即如果数使f(x)=0,则也有,反之,若,则也有,称为迭代函数任取一个初值,代入式