第1页，共31页，星期日，2025年，2月5日§7.1平衡微分方程(differentialequationsofequilibrium)基本思路过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体(单元体)，并把内应力连同体积力(外力)一起作用在该单元体上，考虑其平衡，列出其力的平衡条件，这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式——平衡微分方程。第2页，共31页，星期日，2025年，2月5日第3页，共31页，星期日，2025年，2月5日方程推导图示单元体受力情况属于空间一般力系，由ΣX=0，ΣY=0，ΣZ=0，Σmx=0，Σmy=0，Σmz=0，可得Nevier方程(7-1)以及第4页，共31页，星期日，2025年，2月5日§7.2物体内任一点的应力状态当平面ABC趋近P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。令n的方向余弦为得斜面上的应力为(7-2)第5页，共31页，星期日，2025年，2月5日若将斜面ABC上的应力按沿法线和切线方向分解，则成为(7-3)第6页，共31页，星期日，2025年，2月5日以上各式用矩阵可以写成或者(7-2a)(7-3a)第7页，共31页，星期日，2025年，2月5日其中称为一点处的应力张量(stresstensor)。它是对称于主对角线的，即为对称张量。应力张量实质上是该点三个互相垂直微面上应力分量关系总的特征。应力张量是反映该点应力状态的特征力学量。第8页，共31页，星期日，2025年，2月5日当上述斜面ABC是弹性体的边界面时，(7-2)则成为弹性体的边界条件(7-4)第9页，共31页，星期日，2025年，2月5日§7.3 主应力、主方向的确定应力张量也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数理论，它存在特征矩阵和特征方程，特征矩阵为(7-6)特征方程为(7-5)第10页，共31页，星期日，2025年，2月5日其中I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、二、三不变量，是与应力张量对应的行列式的一、二、三阶主子式之和，即为第11页，共31页，星期日，2025年，2月5日例题已知物体某点的应力分量为?x=50a，?y=80a，?z=-70a，?xy=-20a，?yz=60a，?zx=0。试计算主应力值，并求出主方向。解：首先求出应力不变量为第12页，共31页，星期日，2025年，2月5日得特征值为相应的方向余弦为第13页，共31页，星期日，2025年，2月5日§7.4几何方程物理方程GeometricalequationsPhysicalequations(7-7)Cauchy方程第14页，共31页，星期日，2025年，2月5日记为张量形式则有(7-7)其中脚标中的逗号表示对坐标的微分。第15页，共31页，星期日，2025年，2月5日体积应变(volumestrain)设有微小正平行六面体，起棱边长为?x、?y、?z，变形前体积为?x?y?z，变形后体积成为其单位体积的体积改变也就是所谓体积应变为第16页，共31页，星期日，2025年，2月5日忽略二阶以上微量，则有此即为体积应变。第17页，共31页，星期日，2025年，2月5日(7-8)Lamè形式广义虎克定律第18页，共31页，星期日，2025年，2月5日(7-8)其中写成张量形式则有Kronecker-d第19页，共31页，星期日，2025年，2月5日Young-Poisson形式第20页，共31页，星期日，2025年，2月5日(7-9)其中写成张量形式则有Lamè弹性常数第21页，共31页，星期日，2025年，2月5日弹性空间问题位移解法将Cauchy方程代入物理方程，得到用位移分量表示的应力分量，而后用此应力分量代入Navier方程即可。第22页，共31页，星期日，2025年，2月5日