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广东省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（???）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
3．函数的最小值为（???）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（????）
A．2 B．4 C． D．
5．利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，是线段的中点，则的面积为（???）
??
A．2 B．4 C． D．
6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
7．如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点，，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（???）
A． B． C． D．
8．已知，，，，则（????）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
二、多选题
9．2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，，，则下列等式一定成立的是（???）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（???）
A．的最小正周期是 B．的最小值是
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称
11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则（???）
A． B．
C．若，，则 D．若，则或
三、填空题
12．一元二次方程的两个虚根为.
13．已知函数，则不等式的解集是.
14．在三棱锥中，AP，AB，AC两两垂直，，.以PA为直径的球O与PB，PC分别交于点D，E，则.
四、解答题
15．已知，其中a，.
(1)求a，b；
(2)设，若，证明：.
16．如图1，正四棱台的上底面面积为1，下底面面积为4，侧棱长为2.将正四棱台的四条侧棱延长交于点P，得到正四棱锥P-ABCD如图2所示.
(1)求正四棱台的体积；
(2)若正四棱锥的五个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积.
17．已知函数，（且），函数的图象经过点.
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)若函数有两个零点，求实数k的取值范围.
18．在梯形中，，，，AC与EF交于点G，设，.
??
(1)用基底表示；
(2)若，，求；
(3)设点G到AB，CD的距离分别为，，求的值.
19．已知是锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，在所在平面内以AC为边向外作如图所示，，，.
??
(1)求B；
(2)求的内切圆半径r；
(3)求的面积的取值范围.
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《广东省部分学校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
D
A
B
A
D
BCD
ACD
题号
11
答案
BC
1．B
【分析】由可得，利用复数的乘法运算法则即可得出答案.
【详解】由题意可得.
故选：B.
2．D
【分析】分别化简表示集合，再根据集合的交集运算求解即可.
【详解】，，则.
故选：D.
3．C
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】，
当且仅当，即时，函数取得最小值4.
故选：C.
4．D
【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可.
【详解】因为，为不共线向量，且，为共线向量，
所以，而，，
则，
故，解得，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据直观图的作法确定原的顶点位置，由此求其面积.
【详解】如图，是图中的阴影部分，其中，
所以的面积为.
??
故选：A.
6．B
【分析】先写出的解析式，由代入可得，由正切函数的性质可解得，结合可求得的最小值.
【详解】由题意可得，
，
则，，解得，，
因为，则取0，所以的最小值为.
故选：B.
7．A
【分析】根据题意可得以，，结合平面向量数量积的运算即可求解.
【详解】由题意知，，，所以，
又向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，
所以，，
所以.
故选：A.
8．D
【分析】利用对数的运算法则结合不等式的性质得到