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广东省广州市广东实验中学越秀学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，为的共轭复数，则（????）
A． B． C． D．
2．已知向量，满足，，，则（）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（????）
A． B． C． D．
4．已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．已知向量，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
6．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（????）（注：1丈=10尺）
A．立方尺 B．立方尺 C．3892立方尺 D．11676立方尺
7．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（????）
A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时
8．设点是所在平面内一点，则下列说法不正确的是（????）
A．若，则的形状为等边三角形
B．在中，，若，则为钝角三角形
C．已知点是平面上的一个定点，并且A，B，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
D．已知与的夹角为锐角，实数的取值范围是
二、多选题
9．下列命题正确的是（????）
A．若为纯虚数，，则
B．若，则
C．若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆
D．若是关于的方程的根，则
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（????）
A．若，，，则有两解
B．若，则是钝角三角形
C．若为锐角三角形，则
D．若，则为等腰三角形
11．如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点，则（????）
A．四点共面
B．若，则异面直线与所成角的余弦值为
C．平面截正方体所得截面为等腰梯形
D．若，则三棱锥的外接球的体积为
三、填空题
12．请写出一个模为5，虚部为的复数.
13．的内角的对边分别为.若，则的面积为.
14．已知为的外接圆圆心，，则的最大值为.
四、解答题
15．已知点.
(1)若，其中是实数，且，求的值；
(2)求与的夹角.
16．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
17．如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，，E为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积；
（3）在侧棱上是否存在一点M，满足平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由.
18．在中，角，，所对的边分别是，，，且满足.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
(3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长.
19．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求最小值.
(3)若的最小值为1，求的值.
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《广东省广州市广东实验中学越秀学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
D
A
C
A
D
BD
ABC
题号
11
答案
AB
1．C
【分析】结合复数的除法求出,即可得到，再用复数的模长公式求解.
【详解】因为,
所以,
则.
故答案为：C.
2．A
【分析】将平方结合平面向量数量积的运算律即可得解.
【详解】因为，，，
所以，即，即，
即，解得.