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广东省深圳市南头中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（????）
A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
2．下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（???）
A． B．
C． D．
3．空间中三条不同的直线，，和平面满足，，，则下面结论正确的是（???）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若且，则
4．已知夹角为，且，则等于（）
A． B． C． D．10
5．棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量?两地之间的距离，甲同学选定了与?不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定?两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（????）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
7．古代的粮仓不仅是储存粮食的设施，还承载了丰富的历史和文化价值，如唐朝的“含嘉仓”等，这些粮仓不仅是国家强盛的见证，也是中国传统文化和农业社会的重要体现.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（???）
??
A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米
8．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为
A．4 B． C． D．6
二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（????）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（????）
??
A．平面 B．平面
C．点在平面内 D．点在平面内
11．设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（????）
A．若，则满足条件的三角形只有1个
B．面积的最大值为
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题
12．已知是虚数单位，若复数满足，则．
13．在四面体中，平面，为正三角形，，，则该四面体外接球的表面积等于.
14．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为．
??
四、解答题
15．（1）若，则的值．
（2）若向量，则在方向上的投影向量的坐标．
16．如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
17．如图所示，在梯形中，，，，平面，，，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：；
18．已知的内角的对边分别为，且满足．
(1)求角的大小；
(2)已知是的中线，求的最小值．
19．已知向量，，且
（1）求及的值；
（2）若的最小值是，求实数的值．
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《广东省深圳市南头中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
C
C
D
C
BC
BD
题号
11
答案
BCD
1．C
【分析】根据几何体结构特征直接判断即可.
【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示，
由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，
又平面平面，
平面分别与平面和相交于，
所以，同理，
又，所以互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选：C
2．D
【分析】判断两个平面向量能否构成平面的基底，只需判断它们是否共线即可，不共线才能作为平面的基底.
【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行，
若，则，
故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得.
对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确；
对于B选项，，∴与不平行，故B项正确；
对于C选项，，∴与不平行，故C项正确；
对于D选项，，∴，故D项错误.
故选：D.
3．C
【分析】根据线面平行的性质定理判断选项A；根据线面垂直的判定定理判断选项B；根据线面垂直的性质定理