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广西南宁市第三中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数z满足，则复数z的虚部为（????）
A．1 B． C． D．
2．如图，直角梯形中，，则直角梯形的直观图的面积为（???）
A．2 B． C．4 D．
3．已知直线与平面，下列命题正确的是（???）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．在平行四边形中，M为的中点，，则（????）
A． B． C． D．
5．若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（????）
A． B． C． D．
6．平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
7．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，：，：，则p是q的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在中，M是上靠近点B的四等分点，若的面积为，则的最小值为（???）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、多选题
9．设为复数，，则下列命题正确的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若互为共轭复数，则为实数 D．若为虚数单位，n为正整数，则
10．下列计算或化简结果正确的是（????）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若为第一象限角，则
11．棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（???）
A．动点的轨迹的长度为
B．的最小值为
C．三棱锥体积的最小值为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
三、填空题
12．设向量，，且，则．
13．如图，点，分别是正方体的面对角线，的中点，则异面直线和所成的角为．
14．已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比．
四、解答题
15．已知，都为单位向量，且，的夹角为，完成如下问题：
(1)若，，求；
(2)若，，求向量，的夹角的大小．
16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若D为AC边的中点，，，求b．
17．如图，在正方体中，是的中点，分别是BC、DC、SC的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若正方体棱长为1，过A、E、三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.
18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，F，G分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求GA与平面所成角的正弦值．
19．当的三个内角均小于120°时，在内，使得的点M为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”．已知中，角的对边分别为，，，点P是的“费马点”．
(1)求角A；
(2)若，求的周长；
(3)若，，求实数的值．
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《广西南宁市第三中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
B
C
B
C
BC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数虚部的定义即可得解.
【详解】由，得，
所以复数z的虚部为.
故选：A.
2．C
【分析】根据斜二测法确定直观图的形状及相关线段长，即可求面积.
【详解】由题意，直观图为梯形，其高，，
所以直观图的面积为.
故选：C
3．D
【分析】根据各项线面关系，结合平面的基本性质及空间想象判断各项的正误即可.
【详解】A：由，则，又，故平行或异面，错；
B：若，易知平行或相交都有可能，错；
C：在空间中，易知平行、相交、异面均有可能，错；
D：由，则可沿某个平面平移至平面内，
又，则垂直于平面内任意直线，易得，对.
故选：D
4．A
【分析】利用向量的线性运算的几何意义进行分解即可.
【详解】
??.
故选：A.
5．B
【分析】由侧面积求得母线长，再求出圆台的高，然后由体积公式计算．
【详解】记母线长为，高为，
由侧面积为，，则高为，
所以体积为，
故选：B．
6．C
【分析】由题设条件，利用