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河南省郑州市第二高级中学2024-2025学年高一下期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（????）
A． B． C． D．
2．若直线a不平行于平面，且，则下列结论成立的是（????）．
A．内的所有直线与a是异面直线 B．内不存在与a平行的直线
C．内存在唯一一条直线与a平行 D．内的所有直线与a都相交
3．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（????）
A．3 B． C． D．
4．已知正方体的个顶点中，有个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（????）
A． B． C． D．
5．若非零向量与满足，且，则为（???）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
6．在中,内角所对的边分别为，若，，则（????）
A． B． C． D．
7．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（????）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则一定为直角三角形
D．若，则可以是钝角三角形
二、多选题
9．已知复数，则下列结论正确的是（????）
A．
B．在复平面内对应的点位于第四象限
C．若是实数，则
D．若，，则在复平面内对应的点的轨迹为一条线段
10．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放入一个球状物体，使其完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则（????）
A．此圆锥的侧面积为
B．球的表面积为
C．原玻璃杯中溶液的体积为
D．溢出溶液的体积为
11．在中，，，，点为边上一动点，则（???）
A．
B．当为角的角平分线时，
C．当点为边上点，时，
D．若点为内任一点，的最小值为
三、填空题
12．三个平面会把空间分割成个部分（答出所有可能得分）.
13．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是m.
14．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，若点为坐标原点，则．
四、解答题
15．如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、.
(1)求顶点的坐标；
(2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由.
16．已知复数
(1)若在复平面内的对应点位于上，求的值；
(2)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围；
(3)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为，，求向量在向量上的投影向量的坐标.
17．如图是一个奖杯的三视图，（尺寸如图，单位：cm）试根据奖杯的三视图计算它的
??
(1)体积；
(2)表面积.（参考数据：，，）
18．已知，，分别为三个内角，，的对边，
(1)求角；
(2)若，的面积为，求，；
(3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围.
19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．
??
(1)求向量，的仿射坐标；
(2)当时，求；
(3)设，若对恒成立，求的最大值．
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《河南省郑州市第二高级中学2024-2025学年高一下期期中联考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
B
D
C
A
D
AC
ABD
题号
11
答案
ABC
1．C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选：C
2．B
【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设，
A选项，内过点的直线与共面，所以A选项错误.
D选项，内，不过点的直线与异面，所以D选项错误.
??
BC，若存在，则由于，
所以，这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误.
故选：B
3．D
【分析】结合等边三角形的特点和向量的夹