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河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题错误的是（????）
A．一个棱锥至少5个面
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
2．当m＜1时，复数m（3+i）﹣（2+i）在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的（????）
A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
4．在中，，，，那么等于
A． B． C． D．
5．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
6．设复数，满足，，则（）
A．1 B．
C． D．
7．在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
8．用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确的是（???）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．设，，是复数，则下列命题中的真命题是（????）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．则下列结论正确的是（????）
A． B．若，则该三角形周长的最大值为6
C．若的面积为，则有最小值 D．设，且，则为定值
三、填空题
12．已知复数，，并且，则．
13．在三棱锥中，，，，设三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则.
14．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积，，，为三角形的三边）.在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若且，则当面积的最大值时外接圆的半径为.
四、解答题
15．如图，一个圆锥的底面半径，高，在其内部有一个高为的内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上）．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．
16．已知向量，
(1)若，求的值；
(2)若，与垂直，求实数的值；
(3)若，求向量在向量上的投影向量的坐标.
17．（1）已知复数与都是纯虚数，求复数；
（2）已知复数，，且.求：①；②.
18．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知.
(1)求的大小;
(2)若为锐角三角形且，求的取值范围.
19．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.
（1）求b边的长度；
（2）求的面积；
（3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.
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《河南省郑州市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
C
A
C
A
C
ACD
AC
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】对于A，最简单的棱锥是三棱锥，只有4个面；对于B、D，由平行六面体和正棱锥的定义可判断正误；对于C，棱锥的侧面都是三角形，有一个面是平行四边形的棱锥，即该面是底面，故C正确.
【详解】对于A，最简单的棱锥是三棱锥，即四面体，只有4个面，故A错误；
对于B，由平行六面体的定义可知平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；
对于C，由于棱锥的侧面都是三角形，有一个面是平行四边形的棱锥，即该面为底面，所以一定是四棱锥，故C正确；
对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.
故选：A.
2．D
【分析