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河南省郑州市十校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，则（???）
A．1 B．2 C． D．
2．已知，且，则下列等式正确的是（???）
A． B．
C． D．
3．的展开式中的系数为（????）
A．40 B．80 C． D．
4．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知，则（????）
A． B． C． D．
6．如图，已知图形，内部连有线段．图中矩形总计有（????）个．
A．75 B．111 C．102 D．120
7．已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（????）
A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
10．已知，下列说法中正确的是（???）
A．函数在恰有一个极值点
B．函数在上单调递增
C．，
D．是函数的图象上一动点，是直线上一动点，则
11．已知函数，则（????）
A．函数的一个周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上没有零点
D．函数的最大值为1
三、填空题
12．在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于.
13．为研究方程正整数解的不同组数，我们可以用“挡板法”：取8个相同的小球排成一排，这8个小球间有7个“空挡”，在这7个“空挡”中选择2个“空挡”，在每个“空挡”插入1块挡板，2块挡板将这8个小球分成“三段”，每段小球的个数分别对应，，的一个正整数解，由此可以得出此方程正整数解的不同组数为．据此原理，则方程的正整数解的不同组数为（用数字作答）；该方程自然数解的不同组数为（用数字作答）．
14．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为．
四、解答题
15．（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？
（2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？
（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？
16．已知函数
(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数有两个不同的极值点，其中，求a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，若不等式恒成立，求实数k的取值范围.
17．已知函数，且，
(1)求的值；
(2)求的最大值；
(3)求被6整除的余数．
18．已知，．
(1)若曲线在点处的切线与垂直，求的值；
(2)若，恒成立，求的取值范围．
19．已知函数，.
（1）求的最小值；
（2）设函数，讨论的单调性；
（3）设函数，若函数的图像与的图像有，两个不同的交点，证明：.
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《河南省郑州市十校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
A
C
A
D
ACD
BCD
题号
11
答案
BD
1．C
【分析】求出，代入即可求.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
故选：C
2．C
【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，
所以，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C
3．A
【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确选项.
【详解】，
所以展开式中的系数为.
故选：A
4．B
【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合