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江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（????）
A． B． C． D．
3．在中，若，则（????）
A． B． C． D．
4．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（????）
A． B． C．3 D．
5．若，，则（????）
A． B． C． D．
6．（????）
A． B． C． D．
7．已知正八边形的边长为2，则（????）
A． B． C． D．
8．如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，是复数，则下列说法正确的是（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（????）
A．当时，在上的投影向量为
B．当时，
C．的最小值为2
D．的最大值为0
11．在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（????）
A．存在唯一的，使得 B．存在无数个，使得
C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得
三、填空题
12．在中，为的中点，为的中点．若，则的值为．
13．若是第一象限角，且，则的值为．
14．设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为．
四、解答题
15．设为实数，已知复数．
(1)若对应的点在第一象限，求的取值范围；
(2)若为实数，且与复数相等，求的值．
16．在中，已知，，和的夹角为，且．
(1)若为的中点，求．
(2)已知，若，求实数的值．
17．已知向量，，函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若，，求的值．
18．在中，内角，，的对边分别为，，．已知．
(1)若，求；
(2)求的取值范围；
(3)设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值．
19．正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数，，．
(1)求的值；
(2)设函数，求的值域；
(3)本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数的零点个数，并说明理由；
②判断函数的零点个数，并说明理由．
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《江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
C
D
C
C
A
BD
BCD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.
【详解】因为，所以，即
所以，所以
所以，
故选：B.
2．B
【分析】由复数的除法运算即可求解.
【详解】由，
可得：，
故选：B
3．C
【分析】根据，利用两角和的正切公式可得.
【详解】因为，
所以，
因为,
所以.
故选：C.
4．C
【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理可得：
，
所以，
所以，
故选：C
5．D
【分析】由切化弦，再结合两角和差的正弦公式即可求解.
【详解】，
故选：D
6．C
【分析】由，利用两角差的余弦公式展开计算即可.
【详解】原式
.
故选：C.
7．C
【分析】利用正八边形的特征有，确定相关线段长度，再应用向量数量积的定义求值.
【详解】如下图示，由正八边形的特征易知，
所以，，
由.
故选：C
8．A
【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解.
【详解】过向作垂线，垂足为，设，
则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知，
在直角三角形中可知，
因为，所以，即，
因此可得．
故选：A
9．BD
【分析】由复数的概念、模长公式及代数形式的乘除运算逐个判断.
【详解】对于AB，设，
则，所以，故A错误；
，所以，故B正确；
考虑特例，，满足，显然不成立，C错误；
因为，所以，即，
所