试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则（????）
A． B． C．2 D．4
2．已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（????）
1
2
3
4
5
10
11
13
15
A．11 B．12 C．12.5 D．13
3．圆的圆心与抛物线C：的焦点重合，为两曲线的交点，则|AB|＝（????）
A．2 B．5 C． D．
4．由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（????）
A．144 B．168 C．156 D．192
5．在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取名学生，恰有名学生的成绩不低于的概率是（????）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围为（????）
A． B． C． D．
7．已知甲袋中装有3个红球、2个白球；乙袋中装有1个红球、3个白球．从甲、乙袋中各随机摸出2个球，设为摸出的红球总数，则的期望值是（????）
A．1.2 B．1.4 C．1.7 D．1.8
二、解答题
8．为助力农业发展，科研团队对某农作物种子的发芽情况进行研究，记录种子发芽天数为随机变量，且最多需要天发芽．
(1)在不同温度条件下进行发芽实验，得到如下数据：
温度（℃）
发芽
未发芽
总计
20
60
40
100
25
80
20
100
总计
140
60
200
能否有95%的把握判断种子发芽是否与温度有关?
(2)已知该种子在甲地发芽的概率为0.7，在乙地发芽的概率为0.6．若随机选择甲地或乙地进行实验（两地被选中的概率均为0.5），求种子发芽的概率．
(3)深入研究发现：发芽天数为1的种子在全体种子中占20%；且对于，，发芽天数为的种子在发芽天数超过的种子中占25%．
①证明：，，构成等比数列；
②求该农作物种子发芽天数的数学期望．
附：参考公式：．其中．
临界值表：
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
9．已知函数
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当函数有两个极值点且．证明：．
10．如图，△ABC是等边三角形，直线EA⊥平面ABC，直线DC⊥平面ABC，且EA＝2DC＝，F是线段EB的中点．
(1)求证：平面ABC；
(2)若直线CF与平面ABC所成角为45°，求平面CEF与平面DEF夹角的余弦值．
11．已知为椭圆上一点，斜率为的直线l与椭圆C相交于异于点P的M，N两点，且直线PM，PN均不与x轴垂直．
(1)若，A为椭圆C的上顶点，求的面积．
(2)记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，证明：k1k2为定值．
12．已知箱子中有除颜色外其他均相同的8个红球，2个白球，从中随机连续抽取3次，每次取1个球．
(1)求有放回抽样时，取到白球的次数X的分布列与方差；
(2)求不放回抽样时，取到白球的个数Y的分布列与期望．
三、填空题
13．三棱锥中，于点，，和的面积都是，则当三棱锥的体积取得最大值时，．
14．已知数列的前项和为，满足，则．
15．个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少一个小球.不同放法种数是（用数字作答）．
四、多选题
16．已知双曲线的左焦点为，直线过点，与双曲线的两支、两条渐近线依次交于点（从左到右）．下列说法正确的是（????）
A．若双曲线的渐近线方程为，则的离心率为．
B．若，且为线段的中点，则的离心率为
C．若，且为线段的中点，则的离心率为
D．若的离心率为2，则存在无数条直线，使
17．暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（????）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
18．下列说法正确的是（????）
A．若，则n的值为6
B．已知，则
C．的展开式中x3的系数为12
D．在的展开式中，系数绝对值最大项是第3项
五、单选