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江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若随机变量服从正态分布，，则实数等于（????）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（???）
??
A．?? B．??
C．?? D．??
3．二项式的展开式中的常数项为（???）
A． B． C． D．
4．若函数，则（????）
A． B． C． D．
5．设向量，，若，则实数的值为（????）
A．2 B． C．或 D．2或
6．甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（????）
A．3种 B．6种 C．9种 D．12种
7．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（????）
A． B． C． D．1
8．我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数的“躺平点”分别为则的大小关系为（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列导数运算正确的是（???）
A． B．
C． D．
10．对于事件A，B，C，下列命题中正确的有（????）
A．若，则A与B互为对立事件
B．若，则
C．若，是B的对立事件，则
D．若，，则
11．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，为底面上的动点．则下列说法正确的是（????）
A．若，则点的轨迹长度为
B．若在线段上运动，周长的最小值为
C．若是的中点，则平面截正方体所得截面的面积为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题
12．有名男生和名女生随机站成一排合影，记“名女生恰好相邻”为事件，则的概率.
13．杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（且），在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是．
14．某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大．
四、解答题
15．甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表：
甲
乙
丙
第一轮回答正确的概率
第二轮回答正确的概率
若三人各自比赛时互不影响．
(1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率；
(2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率．
16．已知，其中．且展开式中仅有第5项的二项式系数最大．
(1)求（用数值作答）；
(2)若，求二项式的值被7除的余数．
17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，．
(1)证明：；
(2)求与平面所成角的正弦值．
18．奉节脐橙，是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品．奉节脐橙的栽培技术始于汉代，历史悠久，产区位于三峡库区，所产脐橙肉质细嫩化渣，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，深受广大群众的喜爱．某果园从一批（个数很多）成熟的脐橙中随机抽取了100个，按质量（单位：）将它们分类如下：质量在的为二级果，质量在的为一级果，质量在的为特级果，个数分别为30个，40个，30个．
(1)从这100个脐橙中任取2个，求2个果都为一级果的概率；
(2)按照比例分配的分层随机抽样，在样本中从二级果，一级果，特级果中抽取10个脐橙进行检测，再从10个脐橙中抽取3个脐橙作进一步检测，这3个脐橙中特级果的个数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)若这批脐橙的质量都在内，用样本估计总体，从该批脐橙中任取4个，求4个脐橙中二级果的个数Y的期望与方差．
19．已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，，求证：.
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答案第=pa