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江苏省南京市中华中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，则复数的虚部为（???）
A． B．2 C． D．
2．，若，则实数为（???）
A． B． C． D．
3．在中，点为的中点，记，则（???）
A． B． C． D．
4．设，则（????）
A． B． C． D．
5．若，则（????）
A． B． C． D．
6．在中，为锐角，若，，则（????）
A． B． C．或 D．
7．在中，，向量在上的投影向量为，且，则（???）
A．5 B． C． D．
8．设中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知i是虚数单位，下列说法正确的是（???）
A．若复数，，则
B．若，则
C．若复数，则
D．若复数为纯虚数，则
10．下列四个等式中正确的是（???）
A． B．
C． D．
11．设的内角的对边分别为，下列结论正确的是（???）
A．若满足条件的三角形有2个，则的取值范围为
B．面积的最大值为3
C．周长的最大值为
D．若为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题
12．已知，则的值为．
13．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为．
14．定义区间的长度为，其中.不等式的解集构成的各区间的长度和超过，则数b的取值范围为．
四、解答题
15．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
16．如图，在中，已知为边上一点，．
??
(1)求的面积；
(2)若，求的长．
17．已知向量满足，且向量与的夹角为．
(1)求；
(2)若（其中），则当取最小值时，求与的夹角的大小．
18．已知函数（其中常数）的最小正周期为．
(1)求函数的表达式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值．
19．定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．
(1)设，写出函数的相伴向量；
(2)已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求最值；
(3)已知为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
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《江苏省南京市中华中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
A
A
B
D
BD
ACD
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】由复数虚部的定义，可得答案.
【详解】由题意可得复数的虚部为.
故选：A.
2．B
【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】因为，
由，可得，解得.
故选：B．
3．D
【分析】依题意可得，即可得解.
【详解】因为点为的中点，所以，
所以.
故选：D．
4．A
【分析】由x的范围，和三角函数线得，将化简，得答案.
【详解】因为，由三角函数线的图像
??
可知，则
故选：A
【点睛】本题考查利用同角三角函数关系和二倍角的正弦公式化简，还考查了判断三角函数值的大小，属于简单题.
5．A
【解析】先由及,解得,再用二倍角公式求出的值.
【详解】，由得：
，
.
故选:A
【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)选择合适的公式进行化简；
(2)如果需要,根据条件进行合理的拆角，如等．
6．A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系分别求出及的值，然后利用诱导公式及三角形内角和定理得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出的值．
【详解】中，，，
为锐角，结合为锐角，
，，
则
．
故选：A．
7．B
【分析】设在上的射影为，根据投影向量的定义，求出的长，然后根据三角形的面积公式，以及勾股定理求解即可.
【详解】如图
设在上的射影为，则，且在延长线上，
由于，所以，
所以.
故选：B．
8．D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求出，利用均值不等式求解作答.
【详解】在中，由正弦定理及得：，
即，整理得：，
即，因，则，否则为钝角，也为钝角，矛