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江苏省南京外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数，复数的虚部为（????）
A．1 B．3 C．i D．
2．在中，若，则下列结论错误的是（???）
A． B． C． D．
3．已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（????）
A． B．
C． D．
4．在中，，则的面积为（????）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为（????）
A． B． C． D．
6．若均为单位向量，且，，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
7．在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（???）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．在四边形中，设的面积为，的面积为，，，，，则的值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点为坐标原点，点，下列说法正确的是（????）
A．若向量与同向，，则点的坐标为
B．若，且，则向量的坐标为
C．若，，则
D．若，且与的夹角为锐角，则实数的值的取值范围为
10．下列说法正确的有（????）
A．中，，，，则满足条件的的个数为2
B．若，则关于的方程有一解
C．
D．锐角三角形中，，，则的取值范围为
11．在中，内角，，的对边分别为，，．若，则下列选项正确的是（????）
A．
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是钝角三角形，则最大边与最小边比值的取值范围是
D．若是的外心，，则最小值为
三、填空题
12．正方形的边长为2，为边的中点，为边上一点，且，向量．
13．函数，的值域为．
14．如图，已知线段是直角与直角的公共斜边，且满足，，，则．
??
四、解答题
15．已知为锐角，为钝角，且，．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
(1)求角的值；
(2)若，的面积为，求的值；
(3)若，，求的值.
17．在平面直角坐标系中，已知，，，．
(1)的平分线与交于点，求点的坐标．
(2)若，为与的交点．
①若，求；
②求的最小值．
18．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，求的值；
(2)若，平分，求的值；
(3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19．在中，，为边上两点，，，．
(1)若，，，用，，的三角函数值表示的值；
(2)若，，求的值；
(3)若，．
①求的值；
②求面积的最大值．
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《江苏省南京外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
A
B
C
B
AC
BCD
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】根据复数的乘法运算及复数的定义即可求解.
【详解】∵，∴复数的虚部为3.
故选：B.
2．C
【分析】根据大角对大边，再利用正弦定理化边为角即可判断A；根据余弦函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；根据二倍角的余弦公式即可判断D.
【详解】设三边所对的角分别为，
对于A，由，则，再由正弦定理得，故A正确；
对于B，因为，由余弦函数的单调性知，故B正确；
对于C，当时，满足，但，故C错误；
对于D，由A知，，所以，
又，，，故D正确．
故选：C．
3．D
【分析】利用向量加法、减法及数乘的几何意义求解即可.
【详解】由图可得：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：D.
4．A
【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式可得答案.
【详解】，
由余弦定理得，
解得，舍去，
则的面积为.
故选：A.
5．A
【分析】根据两角和差正弦公式及二倍角余弦公式计算求解.
【详解】因为，所以，
所以．
故选:A．
6．B
【分析】根据数量积运算律化简得出，再根据数量积求解模长的最大值即可.
【详解】因为均为单位向量，且，
因为，所以，
所以，
则.
则的最大值为.
故选：B.
7．C
【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可.
【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心，
所以为直角三角形，，所以，
又因为所以所以，
又因为