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江苏省锡东高级中学2024-2025学年高三下学期4月阶段性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）．
A．R B． C． D．
2．现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（）
A． B． C． D．
3．记为非零数列的前项和，若，，则（???）
A．2 B．4 C．8 D．16
4．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（????）
A． B． C． D．
6．已知函数满足，当时，，则（）
A．2 B．4 C．8 D．18
7．在中，已知，是上的点，平分，，则（）
A． B． C． D．
8．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（）
A．
B．展开式中奇数项的二项式系数的和为256
C．展开式中的系数为
D．若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大
10．随机变量服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（???）
A． B．是增函数
C．是偶函数 D．的图象关于点中心对称
11．已知曲线，则（???）
A．曲线关于轴对称
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线上的点到点的距离最大值为
D．若点是曲线上的点，则的最大值为1
三、填空题
12．如果复数z满足，那么的最大值是．
13．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．
14．在中，内角所对的边分别为，且角为锐角，，则的值为．
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的极值．
16．东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下：
日期
月日
月日
月日
月日
月日
第天
4
参观人数
(1)建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数；
(2)东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率．
附：参考数据：，，，．
参考公式：回归直线方程，其中，．
17．如图，在四棱锥中，，，点在上，且．
(1)点在线段上，且平面，证明：为线段的中点；
(2)若平面与平面所成的角的余弦值为，求的长度．
18．已知数列的前项和为，且，
(1)证明是等差数列；
(2)求；
(3)求证：
19．如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的方程；
(2)斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，若，求的范围.
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《江苏省锡东高级中学2024-2025学年高三下学期4月阶段性考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
A
C
C
A
D
ACD
AD
题号
11
答案
AD
1．B
【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解.
【详解】,
,
,
故选：B.
2．A
【分析】根据给定条件，利用排列、组合计数问题求出试验及所求概率的事件含有的基本事件数，再求出古典概率.
【详解】把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球的试验的基本事件总数为，
恰好有2个小球与盒子的编号相同