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四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的值为（????）
A． B． C． D．
2．已知，则（????）
A． B． C． D．
3．已知在正六边形中，G是线段上靠近D的三等分点，则（????）
A． B． C． D．
4．设为实数，已知向量，.若，则向量与的夹角的正弦值为（????）
A． B． C． D．
5．已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（????）
A．为偶函数
B．的图象向右平移个单位长度后得到的图象
C．图象的对称轴为，
D．在区间上的最小值为
6．若，，且，，则（????）
A． B． C． D．
7．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，BC边上一点D满足，且AD平分.若的面积为，则（????）
A． B． C． D．4
8．已知平行四边形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，若，则四边形ABCD面积的最大值为（????）
A． B． C．4 D．2
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象向左平移m（）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
D．若实数m使得方程在上恰好有三个实数解，，，则
10．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量满足，则正确的是（????）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
11．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（????）
A．角C一定为锐角 B．
C． D．的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，且，则.
13．已知，，则.
14．如图，在矩形中，为边的中点，为边上一点，交边于点，若，则周长的最小值为．
四、解答题
15．如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
(1)若，
（ⅰ）用，表示；
（ⅱ）若，，求的值.
(2)若，，P是线段AD上任意一点，求最大值.
16．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)若，且，求的值.
(3)在中，若，求的取值范围.
17．某养殖公司有一处正方形养殖池，边长为100米.
(1)如图1，P，Q分别在，上，且，求证：.
(2)如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带和，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.
问：①设，求的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值：，）
18．在中，角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若，为边上的一点，，且______，求的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
①是的平分线；
②为线段的中点.
(3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围.
19．定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
(1)若，，求最大值及对应的取值集合；
(2)若向量的“积函数”满足，求的值；
(3)已知，，设，且的“积函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时，的关系.
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《四川省绵阳中学2024-2025学年高一下学期第一次测试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
D
C
B
C
A
BCD
BCD
题号
11
答案
BC
1．B
【分析】利用诱导公式化简后，逆用差角的正弦公式计算即得.
【详解】
.
故选：B.
2．A
【分析】先用诱导公式化简已知式，再利用二倍角公式将其化成关于的余弦的方程，求得，代入二倍角的余弦公式即可.
【详解】由可得，
即，也即，
解得或，因，则，
故.
故选：A.
3．C
【分析】由向量的线性运算和正六边形中的等量关系即可得结果.
【详解】由向量的线性运算及正六边形的性质可知
.
??
故选：C.
4．D
【分析】先利用向量垂直的