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天津市南开中学2024-2025学年高二下学期阶段性质量监测（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列求导运算正确的是（???）
A． B．
C． D．
2．已知曲线的一条切线方程为，则实数（）
A． B． C．1 D．2
3．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（???）
A．当时，取得极小值
B．在上是增函数
C．当时，取得极大值
D．在上是增函数，在上是减函数
4．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
5．若的展开式中的各项系数和为243，则（????）
A．32 B．31 C．16 D．15
6．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人限报1科，每科至少有一名学生申报，则不同的报名方式有（???）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（????）
A． B．
C． D．
9．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（????）
A．288种 B．296种 C．362种 D．384种
10．已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若二项式展开式中的常数项为160，则．
12．函数在区间上的最大值是．
13．已知函数在处取得极大值，则实数的值是.
14．已知，，，，使得成立，则实数的取值范围是．
15．由可组成不同的四位数的个数为．
16．设函数在区间上存在零点，则的最小值为.
三、解答题
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
18．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若，求证：对，且，都有.
19．已知函数．
(1)证明：当时，；
(2)若函数有两个零点．
①求的取值范围；
②证明：．
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《天津市南开中学2024-2025学年高二下学期阶段性质量监测（一）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
B
B
C
D
D
D
B
1．D
【分析】利用导数的运算法则和初等函数的导数对每一个选项逐一求导.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
2．D
【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.
【详解】设切点为
因为切线，
所以，
解得（舍去）
代入曲线得，
所以切点为
代入切线方程可得，解得.
故选：D.
3．D
【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD.
【详解】对于A，，不满足取极值的必要条件，故A错误；
对于B，当时，，这表明在上单调递增，故B错误；
对于C，，不满足取极值的必要条件，故C错误；
对于D，当时，，当时，，
所以在上是增函数，在上是减函数，故D正确.
故选：D.
4．B
【分析】由题意可得在上恒成立，分离参数，再构造新的函数，利用导数求出函数最值即可.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
故时，，单调递增，
故在的函数值满足：，
故.
故选：B.
5．B
【分析】令根据各项系数和求出，再利用赋值法计算可得.
【详解】因为，
令可得，解得，
令可得，
令可得，
所以.
故选：B
6．C
【分析】先确定2人报同一科，然后全排列可得．
【详解】4人报名3科，报名结果是2人报同一科，其余2人各报一科．
不同的报名方式有种．
故选：C．
7．D
【分析】先根据函数有两个极值点，求导，转化成方程有两个不同的正根.再设函数，分析其单调性即函数值的符号，数形结合，可求的取值范围.
【详解】因为（），所以.
因为函数有两个极值点，所以有两个不同的正的变号根.
由（）.
设（），则.
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
且，，当时，.
所以要想方程（）有