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浙江省宁波中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数（）表示纯虚数，则实数m的值为（???）
A． B．
C． D．或
2．下列结论中正确的是（????）
A．正四面体是四棱锥
B．棱台的侧棱长均相等
C．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
D．以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体叫圆锥
3．已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线平行”是“平面和平面平行”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，已知，设，则（????）
A． B． C． D．
5．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（????）
??
A． B．2 C． D．
6．在中，，则此三角形（????）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
7．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（????）
A． B． C． D．
8．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（???）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，在正方体中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、、、、的中点，则下列结论正确的是（???）
??
A．直线GH和MN平行，GH和EF异面 B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面 D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
10．设为复数，则下列结论中正确的是（????）
A．若为虚数，则也为虚数
B．若，则的最大值为
C．
D．
11．“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（????）
??
A． B．
C． D．的最大值为
三、填空题
12．若向量与向量的夹角为则
13．如图，四边形是边长为1的正方形，是四分之一圆，则图中阴影部分以所在直线为旋转轴旋转一周得到的旋转体的表面积为．
??
14．在锐角中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为.
四、解答题
15．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若向量，，求与夹角的余弦值.
16．已知，复数．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
(2)若z满足，，求的值．
17．如图，在正四棱锥中，，且的面积为2，点M为棱PD的中点.
(1)证明：平面MAC；
(2)求直线PA与直线BM所成角的余弦值.
18．如图，在棱长为4的正方体中，E为的中点，经过A，，E三点的平面记为平面.
(1)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(2)点P是在侧面内的动点，满足，当最短时，求三棱锥的外接球的表面积.
19．设A是直线外一点，点M在直线上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对施以视角运算”：若点M在线段上，记；若点M在线段外，记.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上.
(1)若D是BC的中点，由A点对BC施以视角运算，求的值；
(2)若，，，由A点对BC施以视角运算，，求的周长；
(3)若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值.
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《浙江省宁波中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
D
C
D