高级中学名校试卷
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四川省自贡市2025届高三第三次诊断性考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知，则（）
A.3 B.5 C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
则.
故选：C.
2.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，，
所以.
故选：D.
3.在中，是边上的中点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是边上的中点，
所以，即.
故选：A.
4.双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（）
A.1 B.2 C. D.3
【答案】B
【解析】中，，故，
故，故，
所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，
所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为
故选：B
5.命题：数列为等比数列，命题：数列满足，，，则是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：由，且，
设，，，，后续项由依次计算得到：
，，，，
此时数列为1，2，3，4，8，12，16，32，…，显然不是等比数列，所以充分性不成立；
必要性：由为等比数列，显然可得，
且，故必要性成立.
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
6.已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意可知，
因为，
所以，整理得，
等式两边同除得，即，
又因为，
所以，解得，
故选：B
7.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A.函数的图象关于直线对称
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递减
D.当时，
【答案】D
【解析】由图知，，
所以，解得，
过点，所以，
即，又，所以，
所以，
对于：，
所以函数的图象关于点对称，故错误；
对于：，
所以函数的图象关于直线对称，故错误；
对于：，
，
所以，
取，得，
函数在上单调递减，故错误；
对于：，所以，所以，
所以，所以，故正确.
故选：.
8.函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，
则，
令，得或，
当，即时，，
函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，
令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，则在没有最大值，不符合题意；
当，即时，
令，得或，
令，得，
则函数在和上单调递增，在上单调递减，
又，
，
要使在有最大值，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分.
9.为了解本地区居民用水情况，甲、乙两个兴趣小组同学利用假期分别对、两个社区随机选择100户居民进行了“家庭月用水量”的调查统计，利用调查数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示）.甲组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、，乙组同学所得数据的中位数、平均数、众数、标准差分别记为、、、.则下列判断正确的有（）.
A.且. B.且.
C.且. D..
【答案】ABD
【解析】中位数的计算与比较：
由图甲可判断甲组数据的中位数在[7，10.5)内，
第一组[0，3.5)的数据的频率为0.01×3.5=0.035，第二组[3.5，7)频率为0.10×3.5=0.35，
则，解得?，
由图乙可判断乙组数据的中位数在[10.5，14)内，
则，解得，所以?.
平均数的计算与比较：
甲组平均数?：
.
乙组平均数?：
.
所以?.
众数的计算与比较：
由图甲可得甲组众数?；
由图乙可得乙组众数，所以??.
标准差的比较：
因甲组数据分布相对分散，乙组数据相对集中在中间区间，所以.
对于A，由前面计算可知且??，故A正确；
对于B，因且，故B正确；
对于C，由前分析得，，，
，，，故C错误；
对于D，因，，，则?，故D正确.
故答案选ABD.
10.如图1，在中，，，，、分别在AB，AC上，且.将沿翻折得到图2，其中.记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（）
A.
B.直线与所成角的正弦值为
C.平面
D.
【答案】AC
【解析】选项A：由图1，在直角中，，，
因为，所以，且，
，，，，
由图2，在直角中，，
因为，且，所以，
所以在直角中，，又，
所以，所以，
又因为，，