高级中学名校试卷
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福建省部分优质高中2024~2025学年高一下学期
期中质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由向量，得.
故选：D
2.已知为虚数单位，复数，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
则，
故选：C.
3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，
底边长，高，
所以，
直角三角形的周长为．
故选：A．
4.已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】在上的投影向量.
故选：C.
5.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题设，与向量方向相反的单位向量是.
故选：D
6.如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知线段上一点，
设，，
则，
又，则，
所以，
则，解得，
故选：D.
7.已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，
过点、在平面内分别作，，垂足分别为、，
如下图所示：
在梯形内，，，，则，
故四边形为矩形，所以，，，
在、中，，，，
所以，，所以，，
所以，，
因此，该圆台的体积为.
故选：D.
8.在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，取中点，连接，，
因为，，所以，
因此点就是三棱锥的外接球球心，
在平面内过点作，为垂足，
又平面平面，平面平面，
所以平面，
设球半径为，则，
又，则，
因为，，，
所以，
所以，
所以三棱锥的体积，
所以，所以球的体积为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.关于非零向量，，下列命题中，正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，则
【答案】BC
【解析】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误.
B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确.
C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确.
D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误.
故选：BC.
10.下列说法正确的是（）
A.若非零向量满足，，则
B.
C.若为单位向量，则
D.向量可以作为平面内的一个基底
【答案】AC
【解析】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得，
又，所以存在实数使得，
所以，所以，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：因为为单位向量，所以，
所以，
，
所以，故C正确；
对于D：因为，所以，即，
所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误.
故选：AC
11.如图，在平面四边形中，为等边三角形，，为的中点，将沿折起，点至点的位置，使得，将沿折起，点至点的位置，此时四面体恰好为正四面体，，分别为，的中点，则（）
A.平面 B.为钝角
C.平面 D.
【答案】ACD
【解析】对于A，因为，为中点，所以，
从而可得为，，又，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，因为四面体恰好为正四面体，所以，
所以，
所以，所以，所以，故B错误；
对于C，过点作平面于，连接，
因为，易得，所以，
因为，是的中点，所以，所以在直线上，
又，，又，平面，
所以平面，所以，所以过有唯一平面，
设正面体的棱长为，则可得，，
在中，由余弦定理可得，
又是的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，
，
又易得，又，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，所以平面，故C正确；
对于D，又平面，所以平面平面，
又平面平面，由选项C可知，又平面，
所以平面，又平面，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______．
【答案】或
【解析】是实数，则，．
故答案为：.
13.若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】因为向量，，与的夹角为