高级中学名校试卷
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浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（）
A.，4 B.，4 C.，2 D.，2
【答案】D
【解析】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：D
2.已知等差数列的公差，，则的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】等差数列的公差，由，得，解得，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为2.
故选：B
3.若随机变量，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，即，
因为随机变量，且，
故.
故选：B.
4.已知复数，（，i为虚数单位），则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】复数，，
则
，解得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
5.已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，
则，，
已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为：.
故选：A.
6.已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，
所以，
因为函数既有极大值，又有极小值，
则关于的方程有两个不等的正根、，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
7.已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（）
A.4 B. C.3 D.
【答案】B
【解析】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上，
连接并延长交于，连接并延长交AB于D，
设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，
∴，，
设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式，
∴，C=CD=，则，
设正三棱台的外接球的半径,
得，解得，即.
故选：B.
8.已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线定义得，，，
设，则由图，，
在中，由余弦定理得，解得，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，故离心率
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是定义域为R且周期为2的函数，其部分图象如图所示，则下列选项对恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】A选项：由已知，函数是定义域为R且周期为2，则将的图象往左和往右复制延伸可得的图象，
可知函数关于y轴对称，为偶函数，A选项正确；
B选项：由图象可知为函数图象的对称轴，故，B选项正确；
C选项：令，则，又，
则恒成立，即单调递增，
当时，，即，
由图象可知，在时，单调递增，，
时，单调递减，，C选项错误；
D选项：由图象可知，在时，，，
令，则，在该区间单调递增，
且，则，满足，
则当时，，单调递减，，
当时，，单调递增，，
则，，即，即，
令，该函数周期，且关于轴对称，则在R上恒成立，D选项正确.
故选：
10.已知，，，则下列选项正确的是（）
A.的取值范围是 B.的最大值为30
C.的最小值为 D.的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：由向量模长的三角不等式，
当且仅当同向时，取得最大值9；
当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，
由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，
故的取值范围是[0，9]，故选项A正确.
对于选项B，，
当同向时，，
的最大值为，B选项正确.
对于选项C，D，，
设，则上式为①，
当与反向时，
，
所以代入①式得，
所以当时，取得最小值为，此时，
所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的.
故选：ABC
11.如图，是由两个平行平面截半径为2cm且足够高的圆柱体所得的几何体，截面与圆柱体的轴成45°，上、下截面间的距离为.某高中数学兴趣小组对该几何体进行了探究，得出下列四个结论，其中正确的是（）
A.截口曲线的离心率为 B.该几何体的体积为
C.该几何体的侧面积为