高级中学名校试卷
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浙江省衢州、丽水、湖州三地市2025届高三下学期4月
教学质量检测（二模）数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合，，
所以，
故选：A.
2.已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（）
A.或 B. C. D.
【答案】D
【解析】因为复数（）是纯虚数，
所以，
由，得或，
由，得，
所以.
故选：D.
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以，，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
4.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
当时，，
当时，①，
当时，②，
①+②=，
所以，
所以，
故选：C.
5.“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以，，
因为，所以，，
所以，，
因为真包含了，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
6.正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，
则，
故，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
7.在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在中，成等差数列，所以，
又，所以，
设所成等比数列得公比为，则
，，
由正弦定理可得，
整理可得，，
又，即，
整理可得，
所以解得，故，于是，所以，
故选：D.
8.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设，焦点，
设直线方程为，则，化简得，
所以，，
所以，
设在点处的切线方程为，
，化简得，
因为，化简得，，
则在点处得切线方程为，即，
令，则，故，
则，
过点作直线的平行线，故，
所以直线的方程为，
令，则，故,
,
所以，
当且仅当时等号成立，取到最小值9.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则（）
A.的最大值是 B.在上单调递增
C. D.在上有两个零点
【答案】AC
【解析】对于A，由于，且，所以的最大值是，故A正确；
对于B，因为，所以在上不是单调递增的，故B错误；
对于C，由于，故，故C正确；
对于D，若，则，即，可得，，解得，，所以在上恰有个零点，故D错误.
故选：AC.
10.若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为函数与函数的图象关于直线对称，所以函数需满足在定义域上单调.
对于A，易知函数在R上单调递增，故A正确；
对于B，因为在R上单调递增，函数在R上单调递减，故可知函数在R上单调递增，故B正确；
对于C，因为，定义域为R，所以.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故C错误；
对于D，因为，定义域为R，所以，化简可得，因为，所以对，，又因为，所以对，恒成立，所以函数在R上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
11.如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】设记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，
则，
其中，
计算易得，故A、C正确，B错误；
由原方程组可得，
则，所以为常数列，且①.
同理，且，所以②，
由①②可知，=，所以，故D正确.
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知等差数列的前项和为，，，则______．
【答案】110
【解析】.
故答案为：110.
13.已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为______．
【答案】
【解析】设直线为，，
若，此时均与原点重合，，但，故不合要求，
所以，
与联立得，
，解得，
设，则，故