高级中学名校试卷
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浙江省杭州市2025届高三下学期教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由或，所以，
所以，
故选：B.
2.已知向量，，，则（）
A.2 B.0 C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以，
因为，所以，故C正确.
故选：C
3.若等比数列满足，，则数列的公比等于（）
A.或 B.或 C. D.
【答案】C
【解析】，
，
所以，
故选：C.
4.已知数据，，…，的方差，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，即，（）.
即.
所以.
故选：D
5.已知，为任意正数，若恒成立，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为对任意的正数，恒成立，
所以，又，所以，所以.
故选：A
6.定义“真指数”（为自然对数的底数），则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，取，左边，即左边等于；
右边，故A错误；
对于B，取，左边，即左边等于；
右边等于，故B错误；
对于C，由于恒成立，所以在恒成立，
所以自然指数函数满足，
当且仅当即时取等号，故C正确；
对于D，取，左边，即左边等于；
右边等于，故D错误.
故选：C
7.设函数奇函数.若函数，，则（）
A.27 B.28 C.29 D.30
【答案】B
【解析】由函数是奇函数可知，
因此可得；
又，因此；
两式相加可得；
又，因此.
故选：B
8.若，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将平方得，
结合可得，即，
即，
即，故CD错误
又
，故A对，B错；
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知复数（是虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】因为，所以，
，故选项A正确；
，而，与相等，故选项B正确；
，故选项C正确；
，
，
所以，故选项D错误.
故选：ABC
10.设函数，则（）
A.是偶函数 B.
C.在区间上单调递增 D.为的极小值点
【答案】BD
【解析】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误，
由于，且，故
当时，，此时，当时，，此时，
当时，，因此，B正确，
对于C,，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误，
对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确，
故选：BD
11.设曲线，直线与曲线的交点的可能个数的集合记为，则（）
A. B.
C D.若，则且
【答案】ACD
【解析】当有且渐近线为，当有，如下图示，
曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，
根据对称性，只需讨论的情况，讨论如下：
当，
时，直线与曲线无交点；
时，直线与曲线有1个交点；
时，直线与曲线有2个交点；
当，
时，如下图直线，随变化过程，
由图知，直线与椭圆部分相切为界，即有1个交点；
此时不变，，直线与曲线有2个交点，，直线与曲线无交点，
所以直线与曲线的交点个数有三种可能；
时，，如下图直线与曲线有2个交点；
当，如下图，分别以直线与曲线双曲线、椭圆部分相切为界，
直线在双曲线部分相切线上方时，直线与曲线恒有1个交点，
直线与双曲线部分相切时，直线与曲线恒有2个交点，
直线在椭圆相切线下方时，直线与曲线无交点，
直线与椭圆部分相切时，直线与曲线有1个交点，
直线在两条相切线之间时，直线与曲线有3个交点，
综上，，A对；
对于直线恒过点，随的变化与曲线位置，如下图示，
时直线与曲线恒有2个交点；时直线与曲线恒有1个交点；
所以与曲线的交点可能有两种可能，即，B错；
对于，以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行界，
联立，则且，
若，可得，如下图示，
当时，直线与曲线有2个交点；
当或时，直线与曲线有1个交点；
当时，直线与曲线无交点；
所以与曲线的交点可能有两种可能，即，C对；
结合A分析，时存在直线与曲线有3个交点，而其它情况不存在，
此时，假设，显然直线与曲线有且仅有1个交点，不符合，
所以，结合对称性，直线与曲线有3个交点，必有且，D对.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.曲线在点处的切线方程是____________.
【答案】
【解析】由题设，则切线斜率，又，得，
所以曲线在点处的切线方程是，
所以切线方程为.
故答案