高级中学名校试卷
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浙江省北斗星盟2025届高三下学期三模数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可解得，所以，
由可解得，又，所以，
所以.
故选：A．
2.若复数z满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
则，
所以，，故，
故选：B．
3.已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知单位向量，，故由得，
故，即，因此，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：D．
4.“”是“函数值域为R”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，因为，所以函数的定义域为，
故，所以函数的值域为R，
即“”是“函数的值域为R”的充分条件；
若函数的值域为R，则对于二次函数，其值域包含，
即，解得或，
即“”不是“函数的值域为R”的必要条件，
综上，“”是“函数的值域为R”的充分不必要条件，
故选：A.
5.若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
【答案】A
【解析】由得，所以直线l过定点，
又由对称性可知，，所以点A到点B的距离为，所以点A的轨迹为圆.
故选：A．
6.已知函数和函数的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且，则（）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】C
【解析】由得，，
则，即，
则当时，（为奇数）或（为偶数），
则交点坐标为（为奇数），（为偶数），
则相邻的四个交点构成的四边形为平行四边形，
因相邻的交点之间的横坐标差的绝对值为，
则平行四边形的面积为，得，
由，得，即，
因为，所以.
故选：C
7.已知函数满足，且对，，则满足的正整数n的最大值为（）
A.2026 B.2027 C.2028 D.2029
【答案】C
【解析】由题，，
，
所以函数是周期为3的周期函数，
又，，，
，，
，，
所以满足的正整数n的最大值为2028．
故选：C．
8.在平面直角坐标系中，已知曲线C：，若点P为曲线C上的动点，则的最大值为（）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】设，则，
当点P位于坐标原点时，；
当点P异于坐标原点时，可得，
而，，且，
故令，，且，
则，
由余弦函数性质得，故的最大值为，故B正确.
故选：B．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9.在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（）
A.若，则
B.
C.若，则
D.若当且仅当时，取得最大值，则
【答案】ACD
【解析】由题意，随机变量，，
对于A，故，，若，则，故A正确；
对于B，若，则，
化简整理得，即，
所以时，，故B错误；
对于C，由题意，，，
所以，
由得，，
故，即，故C正确；
对于D，由题意，，
则，解得，故D正确.
故选：ACD．
10.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，且，P为C上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（）
A.椭圆C的离心率 B.
C.的内切圆半径为 D.
【答案】AC
【解析】对于选项A：设椭圆的焦距为，
由椭圆的对称性可知，
则，，所以，故A正确；
对于选项B：因为，
所以
，
即，故B错误；
对于选项C：因为，，
则，
所以，
又因为的周长，
设内切圆半径为r，则，故C正确；
对于选项D：由角平分线定理得，故D错误；
故选：AC．
11.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是（）
A.平面平面 B.四棱锥的内切球半径为
C.四棱锥的体积为 D.
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，，平面PAD，
所以平面PAD，所以平面平面ABCD，A正确；
对于B，因为侧面PAD为等腰直角三角形，，
所以，，
因为平面PAD，平面PAD，则，
则为直角三角形，且，，
所以，易知平面，
该四棱锥的内切球在平面上的“正投影”为的内切圆