高级中学名校试卷
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四川省绵阳市2025届高三下学期第三次诊断性测试
数学试题
一?选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则的共轭复数为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，则，
则的共轭复数为.
故选：B.
2.已知平面向量，若，则（）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】A
【解析】由，，
则，即，
此时，则.
故选：A.
3.设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，满足，但不满足；
当时，，则.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4.已知抛物线的焦点为是上一点，且的面积为1.则（）
A.1 B. C.2 D.
【答案】C
【解析】由题意，，设，
则，则，即，
将代入，得，
根据抛物线的定义，.
故选：C
5.某家电公司生产了两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（）
A.型号空调月销售量的极差比型号空调月销售量的极差大
B.型号空调月平均销售量比型号空调月平均销售量大
C.型号空调月销售量的上四分位数比型号空调销售量的上四分位数大
D.型号空调月销售量的方差比型号空调月销售量的方差小
【答案】D
【解析】由图可知，型号空调月销售量极差为，
型号空调月销售量的极差为，故A正确；
型号空调月平均销售量为，
型号空调月平均销售量为，故B正确；
将型号空调月销售量数据从小到大排列为：25，27，28，38，42，50，
由，则型号空调月销售量上四分位数为42，
将型号空调月销售量数据从小到大排列为：22，25，30，37，40，45，
由，则型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确；
型号空调月销售量的方差为
，
型号空调月销售量的方差为
，
故D错误.
故选：D.
6.已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，将直三棱柱补全成长方体，
则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径，
所以其半径为
球O的体积为，
故选：．
7.已知，则的值为（）
A. B.3 C.9 D.81
【答案】C
【解析】，
故选：C
8.已知是椭圆上的一点，且在轴上方，分别是该椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】椭圆，即，
则，即，设，，
则，解得，即，
则，，，
所以.
故选：C.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知定义在上的函数，且，则（）
A.的值可以为
B.的值可以为2
C.若，则
D.若，且，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，
，符合题意，故A正确；
对于B，当时，，
，不符合题意，故B错误；
对于C，，则，即，故C正确；
对于D，当时，，则函数的周期为3，,
由，，要使最大，则，，
因为，
当时，令，取满足的最小正整数，
当时，取得最大值，又，
则的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
10.记的内角的对边分别为，已知是的最小内角，且为整数，若，则（）
A.
B.
C.若，且为整数，则
D.若为直角三角形，则的面积为1
【答案】ABC
【解析】对于A，是的最小内角，
在单调递增，又为整数，
若，则，所以，
此时，此时，不满足题意，
故，因为为整数，所以，故A正确；
对于B，
由正弦定理得即，故B正确；
对于C，为的最小内角，，若则，不满足，
所以因为在单调递增，
，即
即，解得
又为整数，，故C正确；
对于D，若，则，此时，故D错误.
故选：ABC.
11.已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（）
A.4个 B.7个 C.9个 D.10个
【答案】AB
【解析】当时，不满足集合元素的互异性，排除.
不妨设（效果一样），已知，则.
将其变形为关于的表达式：
，移项可得，进一步得到.
因为且，所以，那么.
由此可知，所以集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾.
令，对求导，可得，所以在上是递增函数.
假设存且，令，，
由的单调性可知，这与矛盾，
所以中至多只有中的一个整数.
因为，所以集合至多只有中的一个整