高级中学名校试卷
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四川省泸州市2025届高三第三次教学质量诊断性考试
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
故选：B.
2.已知复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
所以，
故选：D.
3.的展开式中，常数项等于（）
A. B.15 C. D.20
【答案】B
【解析】二项式的通项为，
即?，
令，解得.
可得常数项为.
故选：B.
4已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，其中不符题意，
所以，
所以，
故选：C.
5.已知函数，对满足恒成立，则的值为（）
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
所以，
故选：A.
6.已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（）
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】将代入，得，
所以，得．
因为函数在上为增函数，此时，
所以，解得，
所以当时，，
故选：A.
7.已知圆台的上底面半径是1，下底面半径是2，且圆台的体积为，则该圆台的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆台的高为，其外接球的半径为，
因为圆台的体积为，可得，解得，
若球心在圆台的内部，可得，解得，
所以外接球的表面积为；
若球心在圆台的外部，可得，此时无解，
综上可得，外接球的表面积为.
故选：C.
8.已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，且，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设，则.
由椭圆定义可得：，，
则.
因，则
.
则，又，
则.
故选：C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知10个互不相同的样本数据，，，的平均值为，则关于新样本数据，，，，下列说法正确的是（）
A.极差不变 B.平均数变大 C.方差变小 D.中位数变小
【答案】AC
【解析】因为极差是数据中最大值与最小值的差值，
新样本数据，，，，的最大值和最小值与原样本，，，的最大值和最小值相同，
所以极差不变，故A正确；
因为，，，的平均值为，
所以新样本数据，，，，的平均值为，故B错误；
设，，，的方差为，则新样本数据的方差为，
所以方差变小，故C正确；
根据中位数概念可知，中位数可能变小，也可能变大，故D错误.
故选：AC.
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（）
A.对任意直线，均有 B.若，则
C.面积的最小值为16 D.以为直径的圆与的准线不可能相切
【答案】ACD
【解析】由题意可知直线的斜率不为0，故设其方程为，设，
联立得，，则①，
则，则，故A正确；
因，则，与①式联立得，，
则，故B错误；
，
则，等号成立时，故C正确；
取线段的中点，过点往准线作垂线，垂足为，
因，则，则，
，则，
则，即，
则以为直径的圆与的准线相离，故D正确.
故选：ACD
11.若函数的图象上存在个不同点，且在这个点处的切线的斜率相等，称该函数存在点切线，则下列说法正确的是（）
A.函数存在点切线
B.函数存在点切线
C.若函数为单调函数，则该函数不存在点切线
D.若函数存在3点切线，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】A，由，得，
结合余弦函数性质可知，当时，且是周期函数，在上存在无数多个点，使得在这些点处的切线的斜率相等，故A正确；
B，由得，当时，得，
此时存在两点使得在这两点处的切线的斜率相等，故B正确；
C，函数在上单调递增，则，
当时，，
此时存在两点使得在这两点处的切线的斜率相等，故C错误；
D，由，得，
因函数存在3点切线，则，使得在上存在个根，
令，则，
令，则，
当即时，，，
则在上单调递减，
则在上至多存在一个实数根，不符合题意；
当即或时，
若，有的对称轴，且，
则在上恒成立，则，
则在上单调递减，
则在上至多存在一个实数根，不符合题意；
若，设的两个零点为，不妨设，
则，，则，
则得；得或，
则在上单调递增，在和上单调递减，
当时，，当时，，取为和的较小值，
则当时，在上存在个根，
综上可知，若函数存在3点切线，则的取值范围是，