高级中学名校试卷
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上海市徐汇区2025届高三4月二模考试数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.已知全集，，则______.
【答案】
【解析】，又，故.
故答案为：.
2.复数（其中为虚数单位）的虚部是________．
【答案】
【解析】，故其虚部为.
故答案为：.
3.在空间直角坐标系中，向量若，则____.
【答案】
【解析】若，则，
解得，，故.
故答案为：.
4.已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________．
【答案】
【解析】设幂函数，
代入点可得，即，
可得，
因为，可得，所以该幂函数的值域是.
故答案为：.
5.如下是一个列联表，则__________.
y1
y2
总计
x1
a
35
45
x2
7
b
n
总计
m
73
s
【答案】90
【解析】由表格有，
故答案为：.
6.已知，则的值为_____________.
【答案】
【解析】，
所以，
则.
故答案为：7.
7.已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____.
【答案】
【解析】取中点为，连接，如下所示：
因为为等腰三角形，又为中点，故；
因为平面，面，故；
又面，故面，又面，故，
故点到直线的距离，即为；
在△中，；
因为平面，面，故，则△为直角三角形；
在△中，，故,
故点到直线的距离为.
故答案为：.
8.已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________.
【答案】
【解析】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设，
则有，由有，所以，
所以，所以，
即，所以，
故答案为：.
9.已知两个随机事件，若，，，则_______.
【答案】
【解析】由题意，
所以，
所以.
故答案为：.
10.已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________.
【答案】
【解析】设中点为，连接，作图如下所示：
在△中，因为分别为的中点，故//，且；
由题可知，，且，故，且；
根据双曲线定义可知，，又，
故在△中，由勾股定理，也即，
整理得，故，也即该双曲线的离心率为.
故答案为：.
11.如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米.
【答案】
【解析】过点作垂足为，可得，，
设,，在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又由阴影部分面积：
，其中，
令，
可得，
令，可得，解得
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形，
因为，所以.
故答案为：
12.设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是__________.
【答案】
【解析】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾；
假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾；
以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故.
而，，所以一定存在，使得，即，满足条件.
综上，的最小值是.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知为两个随机事件，则“为互斥事件”是“为对立事件”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
【答案】B
【解析】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“A?B为互斥事件”是“A?B为对立事件”的必要非充分条件.
故选：B
14.在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（）
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】若样本数据所对应点都在直线上，
则两组数据和的线性相关系数为.
故选：A.
15.在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为.现有下列两个结论：①；②.则下列说法正确的是（）
A.①正确，②错误 B.①错误