高级中学名校试卷
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上海市青浦区2025届高三下学期学业质量调研数学试题
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合，则________.
【答案】
【解析】解集合A中的不等式，得，
就是求既属于A又属于的元素，所以.
故答案为：
2.函数的值域是________.
【答案】
【解析】，
其中，
则其值域为
故答案为：.
3.的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是___________.
【答案】
【解析】根据二项式展开式的通项公式
则展开式中项为
又，则该项为，
已知项的系数是20，则，即，
解得.
故答案为：
4.如图是6株果树植株挂果个数（两位数）茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为______.
【答案】21.5
【解析】将这6个数从小到大排列为16，18，21，22，22，31，
因数据有偶数个，则中位数是中间两个数的平均数，故中位数为.
故答案为：21.5.
5.向量在向量方向上的数量投影是_________.
【答案】118
【解析】因为，
向量在向量方向上的数量投影公式为.
故答案为：
6.已知的角对应边长分别为，则__________.
【答案】
【解析】根据余弦定理得，
把代入可得，
因为，所以.
故答案为：.
7.数列中，，，则______．
【答案】
【解析】，，即，是等比数列，公比为，
∴．
故答案为：2.
8.已知随机变量，若，则_______.
【答案】0.4
【解析】因为随机变量，正态曲线关于对称.
，则，
根据正态曲线的对称性.
故答案为：0.4.
9.已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是_________.
【答案】
【解析】已知，则.
因为，所以，
表示复数所对应的点到所对应的点的距离，
说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即.
故答案为：.
10.已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为________.
【答案】
【解析】设抛物线上的点坐标为，
圆的圆心为，半径.
点到圆心的距离.
令，则，对其求最小值，
根据二次函数性质，当时，最小为.
则与两点间最短距离为.
故答案为：.
11.道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足.
该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数）
【答案】821
【解析】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒.
1小时内通过的车辆数
.
根据基本不等式（），，
当且仅当时等号成立.所以，
即该城市道路通行能力的最大值约为821.
故答案为：821.
12.如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________.
【答案】
【解析】根据，可由题意将所求角转化为将绕旋转所得到的直线与所成的角，
即可将其转移到圆锥中求解，图中直线与重合，圆锥母线为,如下图：
由旋转可转化到，
在正方体中，假设正方体的边长为，则可知
所以，即在圆锥中有，，
由可得，
由等边三角形，可得，
在中，由余弦定理，
从而可得旋转后直线方向向量与直线AB方向向量夹角的余弦值为，
所以直线AB与直线所成角的大小为.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14每题4分，第15－16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13.“函数y=sin(x＋φ)为偶函数”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】时，为偶函数；若为偶函数，则；选B.
考点：1三角函数的性质；2充分必要条件．
14.若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，当时，函数单调递减，由可得，故A错误；
对于B，当时，函数在单调递减，由可得，故B错误；
对于C，因，，函数在上单调递增，由，可得，由，也可得，故C正确；
对于D，若取，显然满足正数均不为1，且，
但，即与不等价，故D错误.
故选：C.
15.一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，