高级中学名校试卷
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山西省部分重点中学2025届高三下学期4月模拟考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（）
A. B.1 C.2 D.4
【答案】A
【解析】由得，
所以.
故选：A.
2.若点在以原点为顶点x轴为对称轴的抛物线C上，则C的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，抛物线C的方程为，
将代入，可得，故抛物线C的方程为.
故选：A.
3.已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】一方面，因为，夹角为，，，
所以，
当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
故，所以是的充分条件.
另一方面，因为，夹角为，，，所以，
所以，
所以，即，
所以，故是的必要条件.
综述：是的充要条件.
故选：C.
4.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，为单调递增函数，不符合题意，
当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，
当时，在单调递增，在单调递减，
故在上单调递减，则，
故选：C
5.从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（）
A.第一象限点比第二象限点多 B.第二象限点比第三象限点多
C.第一象限点比第三象限点少 D.第二象限点比第四象限点少
【答案】D
【解析】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个，
第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个，
第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个，
第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个，
又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，
所以①，且②，
由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少.
故选：D.
6.已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（）
A.3 B.6 C.8 D.12
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，由，得，解得，
，，，
因此，整理得，解得.
故选：B
7.将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（）
A.24 B.36 C.48 D.72
【答案】D
【解析】①第一行中间为偶数，两边为奇数，有，第二行中间为奇数，两边为偶数，有，所以共有，
②第一行中间为奇数，两边为偶数，有，第二行中间为偶数，两边为奇数，有，所以共有，
所以共有，
故选：D
8.设函数，对任意，.若对任意，都有，则的极小值为（）
A. B. C. D.0
【答案】A
【解析】将代入，可得
，
由于等式对任意都成立，则项系数必须为0，
即，所以，
令，可得或，
由三次函数图象性质易得为函数的唯一变号零点，
由任意，都有，
可得，时，总有，
所以为函数的变号零点，所以，则，
此时，求导得，
令，得或2，当或时，；当时，.
故为极小值点，极小值.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.2025年春节期间，中国电影市场表现亮眼，《哪吒之魔童闹海》等多部优秀影片上映，吸引了大量观众走进影院，某影院对1月29日至2月27日的售票情况进行统计，得到这30天的观影人数如下表：
观影人数（单位：千人）
不小于3
天数
2
6
10
8
4
据表中数据，下列结论一定正确的是（）
A.30天观影人数的中位数不小于2千人
B.30天观影人数的平均数大于2千人
C.30天观影人数的众数大于1.5千人
D.30天观影人数的极差大于1.5千人
【答案】ABD
【解析】由可知，中位数位于内，故A正确；
因，
则平均数一定大于2千人，故B正确；
由于每天的观影人数的具体值不清楚，
故30天观影人数的众数可能大于1.5千人，也可能小于1.5千人，故C错误；
因，所以由表格30天观影人数的极差大于1.5千人，故D正确.
故选：ABD
10.如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（）
A.
B.
C.是曲线的一条对称轴
D.曲线向右平移1个单位后关于原点对称
【答案】AC
【解析】因为，，所以，所以函数的周期为，
所