高级中学名校试卷
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山东省烟台市、德州市2025届高三下学期二模考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题集合，
集合，
所以.
故选：D
2.已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】由得，
则在复平面内所对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
3.已知向量，，若，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若，则，
当时，有最小值为.
故选：A
4.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为上一点，且满足.若线段的中垂线过原点O，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知，且由椭圆定义可知，将代入到中，可得，即，解得，那么.
因为线段的中垂线过原点，所以，又因为，所以，那么是以为直角顶点的直角三角形.
在中，根据勾股定理可得，其中，
将，代入，可得，即，化简可得，即.
因为椭圆的离心率，且，所以.
故选：D.
5.一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为，
下底面半径为，高为，
所以溶液的体积.
故选：B
6.已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数在上单调递增，得，
解得，由的图象关于点对称，得，
解得，于是，，
所以.
故选：C
7.已知定义在上的函数满足，且，则（）
A. B.0 C.1 D.2
【答案】D
【解析】令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
可得是以4为周期的周期函数，
则.
故选：D.
8.若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,
所以且,
故且,
所以,
故,
,
所以,
所以,
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（）
A.,,,,的极差为12
B.,,,,的方差为16
C.,,,,的第80百分位数为
D.,,,,,,,,,的平均数为5
【答案】ABD
【解析】对于选项A:
因为数据的极差为6，
所以.
根据可知：，.
所以，所以A正确.
对于选项B：
因为数据的方差为4，，
所以根据方差的性质可知：数据的方差为.
所以B正确.
对于选项C：
因为，为整数，则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值，
即，所以C错误.
对于选项D：
因为数据的平均数为3，，
所以数据的平均数为.
所以数据,的平均数为.
所以D正确.
故选：.
10.已知抛物线与直线交于A，B两点，则下列说法正确的有（）
A.若直线过抛物线的焦点，则
B.若线段的长度为8，则
C.当时，抛物线上恰有三个点到直线的距离为
D.无论p为何值，抛物线上都恰有三个点M，使得为等腰三角形
【答案】AC
【解析】对A，若直线过抛物线的焦点，所以焦点为，即，故A正确；
对B，，
设，，则，，
，
代入验证不成立，故B错误；
对C，当时，，直线，
设抛物线上点，，
则到直线距离，
即，有两个解，或，，
所以共有3个这样的点P，故C正确；
对D，为等腰三角形,
∴，，三种情况，
当时，M在AB垂直平分线上，设AB中点为，，
即AB垂直平分线的方程为，联立，
得到，，所以方程有两个解，
故此时符合题意的点M有2个，如下图，
当时，M在以B为原点，AB为半径的圆上，如图，
∵直线，∴倾斜角为，，
故此时符合题意的点M至少一个，且不与重合，
当时，M在以A为原点，AB为半径的圆上，如图，
故此时符合题意的点M至少一个，
综上，无论p为何值，使得为等腰三角形的点M至少4个，故D错误，
故选：AC.
11.在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，，为棱上一动点，设，则（）
A.无论为何值，都有
B.当时，平面平面
C.当时，过点和的平面截三棱锥所得截面面积的最小值为
D.三棱锥外接球表面积的最小值为
【答案】AC