高级中学名校试卷
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山东省临沂市2025届高三下学期5月第二次模拟考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
所以，
故选：A.
2.若复数，则的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意.
故选：A.
3.已知实数满足，则（）
A.11 B.12 C.16 D.17
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D.
4.已知为正项等差数列，若，则的最大值为（）
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【解析】，解得，
由于为正项等差数列，则，解得，
，等号成立当且仅当，
所以的最大值为8.
故选：C.
5.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若的图象关于轴对称，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意是偶函数，
从而，解得.
故选：B.
6.已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（）
A.8 B.16 C.32 D.64
【答案】C
【解析】若随机变量，则，，
为使在内的概率不小于，则，解得，
即的最小值为32.
故选：C.
7.已知，若向量与向量互相垂直，则（）
A. B. C.5 D.
【答案】C
【解析】因为，，显然、、、均不为，
所以，即，所以，
所以，
因为向量与向量互相垂直，
所以
则，又，解得.
故选：C
8.已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，所以的三个内角都是，
从而，结合双曲线定义得，故，
又，故，结合，
故由余弦定理得，化简得，解得.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知，则下列不等式正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，，因为，
所以，即，所以，故A正确；
对于B，取，此时，故B错误；
对于C，取，则，故C错误，
对于D，若，则显然成立，
若，则成立，
若，则成立，
综上所述，只要，就一定有，故D正确.
故选：AD.
10设函数，则（）
A.有3个零点
B.过原点作曲线的切线，有且仅有一条
C.与交点的横坐标之和为0
D.在区间上的取值范围是
【答案】BC
【解析】，
0
0
单调增
单调减
单调增
，
所以有2个零点，A不正确；
对于选项B：设切点，则切线方程为，
代入原点，得，
故切线有且仅有一条，正确；
对于选项C：或，
若，根据对称性知，根之和0，
若，方程只有一个根为0，故正确；
对于选项D：，又，
故在区间上的取值范围是，错误.
故选：BC.
11.三棱锥中，，则（）
A.三棱锥的体积为
B.三棱锥外接球的表面积为
C.过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1
D.当时，的最小值为
【答案】ACD
【解析】由题设给定的三棱锥，，
所以，即，又平面，
所以平面，故可将其补全为一个正方体，
其中为三条棱，为体对角线，如下图示，
由，则，A对；
由图，易知三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，且球心为的中点，
所以外接球的半径，故其表面积为，B错；
要使过中点的平面截三棱锥外接球所得截面半径最小，
连接，只需截面与垂直即可，此时最小半径为，而，
所以，C对；
构建如图示的空间直角坐标系，又，设，
则，
所以，当时，，D对.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为__________．
【答案】19
【解析】若样本数据的均值为10，则样本数据的均值为.
故答案为：19.
13.已知分别为椭圆的左、右焦点，的离心率为，过与长轴垂直的直线交于两点，交轴于点，若，则的周长为__________．
【答案】
【解析】因为离心率，且在椭圆中可得
，，
建立如何所示的平面直角坐标系，
，，
因为垂直于轴，垂足为，故，
代入椭圆方程可得，，
又为与轴交点，可得，
因为，由两点之间的距离公式可得，
又，，
解得，，
则则的周长为
，
故答案为：.
14.已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为__________．
【答案】
【解析】当时，，，此时；
当时，，，