高级中学名校试卷
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河南省许昌市部分学校2025届高三下学期4月期中联考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由或，故集合或，所以，
易得集合，故.
故选：B.
2.已知条件，条件，则是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】或，则，
，则或，
因此推出，而不能推出，
所以是的必要不充分条件.
故选：B
3.设是定义域为的奇函数，且.若，则（）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是定义域为的奇函数，则，
则，故是以为周期的周期函数，
由，则.
故选：B.
4.设，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，则，即，
因为，
则，则，则.
又因为，
所以.
故选：B.
5.已知，，，且，则的最小值为（）
A.2 B.3 C.4 D.9
【答案】B
【解析】，
由于，则，
由于，当且仅当，时取等号.
则，当且仅当时取等号，
则的最小值为3.
故选：B.
6.已知为锐角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
得，
则，由为锐角，则，
又，，
故，
所以
，
由二倍角余弦公式得，则.
又为锐角，所以，
故.
故选：C.
7.已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的几何意义为两动点与的距离，
A在曲线上，B在曲线上，抛物线开口向右，焦点，
作出两曲线与的图象，如图所示，
可得，，
最小值就是，
即求点到曲线上点的最小值.
取曲线上点，，
令，则，
函数单调递增，且，
则有在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，则的最小值为，
即的最小值为，
所以实数m的最大值是.
故选：D.
8.甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件.
其中，甲得3分，即包含的基本事件有，共15个，概率为.
同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为.
所以每一轮甲得分低于3分的概率为．
设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.
则，.
事件可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为；
②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为.
所以，
所以.
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9.设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（）
A.若，则或
B.若，则
C.若，则
D.若，则位于第三象限
【答案】BD
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，由题意可知：，所以，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，故，位于第三象限，故D正确；
故选：BD.
10.若随机变量，随机变量，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】，A正确；
因为，所以，B错误；
，故C正确；
，，
，D错误．
故选：AC.
11.如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（）
A.点N的轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧
B.存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面
C.无论点N在何位置．总有
D.MN长度的取值范围为
【答案】BCD
【解析】将展开图折叠成正方体，如图所示：
连接，，，则，.
取的中点，的中点，连接，，，则，，
所以，不在面内，面，则面，
同理有，不在面内，面，则面，
而相交且都在面内，故平面平面.
要使平面，则点在线段上，故点的轨迹为线段，故A错误；
当点与点重合时，，又，所以四点共面，
由图可知，点与点不重合时，与异面，所以B正确；
在正方体的结构特征，易证平面，又平面平面，
所以平面，又平面，所以