高级中学名校试卷
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内蒙古赤峰市2025届高三下学期4.20模拟考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1.在复平面内，复数对应的向量，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，
∴，
故选：D．
2.在等差数列中，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D
3.已知函数，，则（）
A.2 B.e C.3 D.
【答案】B
【解析】由解析式可得：，
所以，
所以，
故选：B
4.在的展开式中，的系数为15，则的值为（）
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】A
【解析】二项展开式的通项，
因为的系数为15，所以，解得，.
故选：A.
5.如图，一个质量为的木块静止在与水平面成的斜坡上，已知重力加速度，重力方向竖直向下，以水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，那么重力在斜面正方向（斜面向下为正方向）上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为了方便运算，不妨以直角三角形的直角顶点为坐标顶点，
因为，则不影响一般性可设，
则，，则，取，
则重力在斜面正方向（斜面向下为正方向）上的投影向量为.
故选：C
6.已知函数满足：①在上单调递增；②，都有；③是偶函数，且，则的表达式为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数满足，可得为指数函数型，可排除C、D项；
又由是偶函数，且，
对于A中，若，则满足，函数为偶函数，
且，不符合题意，舍去；
对于B中，若，则满足，函数偶函数，
且，符合题意.
故选：B.
7.已知双曲线，若直线与没有公共点，则的离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵渐近线方程为且的斜率为，
∴，则，∴离心率，又∵，
则离心率的取值范围为.
故选：C
8.已知函数与的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形，则此三角形面积为（）
A. B. C.2 D.3
【答案】D
【解析】先求交点，对于，有：，即，解得，.
再确定相邻三个交点，取相邻三个整数，
当时，得到交点.当时，得到交点.当时，得到交点.
最后判定直角三角形，已知向量，.
根据向量点积的坐标运算公式：所以.
令，即.解得
所以，同理.
因为该三角形为直角三角形，且两条直角边长度都为.
所以该三角形面积.
故选：D..
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.一组数据，，，，满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比（）
A.极差变小 B.平均数变大 C.方差变小 D.第25百分位数变小
【答案】AC
【解析】由于，故，
A选项，原来极差为，去掉，后，极差为，极差变小，A正确；
B选项，原来的平均数为，
去掉，后的平均数为，平均数不变，B错误；
C选项，原来的方差为，
去掉，后的方差为，方差变小，C正确；
D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即，
去掉，后，，故从小到大排列，选择第2个数和第3个数的平均数作为第25百分位数，
即，由于，第25百分位数变大，D错误．
故选：AC
10.将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（）
A.（）
B.方盒容积的最大值为
C.在区间上单调递增
D.当时，
【答案】ABD
【解析】由题意可知，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为.
根据长方体体积公式，可得方盒容积，展开可得：
因为要能做成无盖方盒，则且，即，所以，故A选项正确.
对求导，可得：
令，即，解得，.
因为，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
则在处取得极大值，也是最大值，，故B选项正确.
由上述求导分析可知，当时，，所以在区间上单调递减，故C选项错误.
当时，.易知.
所以，，，，.
一共有组和为的数对，再加上，则，故D选项正确.
故选：ABD.
11.如图，棱长为2的正方体，为底面的中心，为侧面的中心，是线段上的动点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（）
A.平面 B.
C.最小值为 D.三棱锥的外接球的体积为
【答案】ABC
【解析】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.已知正方体棱长为，则各点坐标为：，，，，.可得.
设平面的法向量为，，.
由，即，令，解得，，所以.