高级中学名校试卷
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内蒙古包头市2025届高三下学期第二次模拟考试数学试题
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，若，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，且.
故选：B
2.已知角的终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为角的终边经过点，可得，
由三角函数的定义，可得，
故A，B，C错误，D正确.
故选：D.
3.已知复数是关于的方程的一个根，则实数的积为（）
A. B. C.2 D.4
【答案】A
【解析】∵复数是关于的方程的一个根，
∴，即
∴，解得，
故选：A.
4.已知向量，则（）
A.2 B. C. D.1
【答案】C
【解析】已知向量
所以，即，
即，
故选：C.
5.直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，，
因为线段的中点为，所以，，
所以，两式相减可得：，
即，
所以，即，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为：，
化简为：，经检验符合题意.
故选：A.
6.已知在上单调递增，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，则，
因，则，
则，，
因在上单调递增，
结合正弦函数图象性质可得，解得，
故的取值范围是.
故选：B
7.已知圆台的上、下底面半径分别为．半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设内切球的半径为，
设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处，
设球与母线切于点，所以，所以，
所以与全等，所以，同理，
圆台的母线长，而，因此，
所以，过作，垂足为，
则，所以，
所以球的表面积为.
故选：C.
8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，令，即．
因为满足，所以在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故A错误；
对于B，令，即．
易判断在区间上单调递增，
所以不可能为“3型不动点”函数，故B错误；
对于C，由，得，
易知当时，单调递减，且，所以当时，的图象与直线有且只有一个交点；
当时，单调递减，且；
当时，单调递增．令，得，解得，此时，所以直线与曲线相切于点．
所以直线与曲线共有两个交点，所以为“2型不动点”函数，故C错误；
对于D，，作出的图象，如图所示．易知其与直线有且只有三个不同的交点，
即有三个不同的解，所以为“3型不动点”函数，故D正确．
故选：D.
二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的焦点的直线与交于两点，分别过两点作的准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（）
A.抛物线准线方程为
B.以线段为直径的圆与抛物线的准线相切
C.以线段为直径的圆与轴相交
D.以线段为直径的圆过定点
【答案】ABD
【解析】对于A，因为抛物线的焦点到准线的距离为2，
所以，所以抛物线，所以抛物线的准线方程为，故A正确；
对于B，设的中点为D点，过D点作准线的垂线，垂足为，
可得，所以B正确；
对于C，设、，则由抛物线的定义可得：,，
的中点为，的中点到轴的距离为，
所以以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于D，、，所以的中点，，
设直线为，所以联立，
所以，所以，
因为，
所以，
以线段为直径的圆过定点，故D正确.
故选：ABD.
10.一组样本数据．其中，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为，其残差为分布如图所示，且，，则（）
A.样本正相关 B.
C. D.处理后的决定系数变大
【答案】BD
【解析】A选项，因为原始数据的经验回归方程为，斜率为负数，
所以样本负相关，A选项错误；
B选项，，所以，B选项正确；
C选项，由图可知处理后的数据的残差分布更集中，说明处理后的数据的残差方差更小，所以，C错误；
D选项，处理后的数据的经验回归方程的