高级中学名校试卷
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江苏省苏锡常镇四市2025届高三下学期教学情况调研（二）数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，故，，故，
所以，
又，故.
故选：A.
2.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选：B.
3.诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（）
A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差
【答案】C
【解析】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，
得到6个有效评分，
6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，
因此一定不变的数字特征是中位数.
故选：C.
4.已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（）
A.直线过圆心 B.直线与圆相交，但不过圆心
C.直线与圆相切 D.直线与圆无公共点
【答案】B
【解析】直线：即，斜率为，倾斜角为，
将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，即，
圆：的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交但不过圆心.
故选：B.
5.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由与联立，结合可解得：
，，，
再由二倍角公式可得，
故选：B.
6.已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，，，，，A错；
，B错；
，C错；
一般情况，时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，D对；
故选：D．
7.已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是奇函数，则，
令，可得，可得，
在中令得，所以，
在中令得，
所以，
所以.
故选：D.
8.一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方法一：
，
如图，，
而，
，，即，
由于到距离，则到距离，
设正方形外接圆圆心，则
设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径
，，故外接球表面积为，
故选;A.
方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图：
设圆的半径为，由余弦定理可得，
故，故，
所以外接球的半径为，所以球的表面积为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.的展开式中，则（）
A.的系数为 B.第3项与第4项的二项式系数相等
C.所有项的二项式系数和为32 D.所有项的系数和为32
【答案】ABC
【解析】A选项，展开式第项，
时，，A对；
B选项，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相同，B对.
C选项，所有项二项式系数和为，C对.
D选项，时，，即所有项的系数和为，D错；
故选：ABC
10.已知函数，则（）
A.的图象关于点对称
B.的最小正周期为
C.的最小值为
D.在上有四个不同的实数解
【答案】BD
【解析】方法一：由，
则，，则，
所以不可能关于对称，A错误；
因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
则的最小正周期为，B正确；
当时，，当时，；
当时，，作出函数大致图象，如图，
则，C错误，
在有4个根，D正确.
方法二：由，
作出和的图像，取位于上方的部分即可：
由图可知，AC错误，B正确，
对于D，计算知与在内的交点坐标为，
而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点，
所以在上有四个不同的实数解，故D正确.
故选：BD.
11.已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（）
A.