高级中学名校试卷
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吉林省长春市2025届高三下学期质量监测（四）数学试题
一、单选题
1．复数z=12-i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】复数z=1
故选：A
2．已知随机变量X~B3,13，则P
A．727 B．827 C．1227
【答案】D
【解析】由题意得P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=
故选：D.
3．已知向量a和b满足a=b=3,a与b的夹角为60°
A．3 B．2 C．23 D．
【答案】D
【解析】由题意，2a
故选：D.
4．若α∈0,π2，且sin2α+π
A．-3 B．3 C．-33
【答案】B
【解析】由sin2α+π6
则tan2α=-
又α∈0,π2?
所以2α=2π3，所以α=
故选：B
5．圆x2+y2-4=0
A．22 B．23 C．14 D
【答案】A
【解析】圆C1：x2+y2-4=0??
圆C2：x2+y2-4x+4y-12=0??
因为r2-r1C
因此公共弦所在直线的方程为①-②：x-y+2=0，
圆C1的圆心到公共弦的距离为d=
即公共弦长为l=2R
故选：A
6．在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（???）
A．13 B．33 C．23
【答案】C
【解析】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，
易得CN//ME，
所以四边形CNEM为平行四边形，则NE∥
则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，
即∠ANE为直线AN与CM所成角（或补角），
设正方体的棱长为2，则AE=DE=2,DN=2，AN=NE=
在△ANE中，由余弦定理可得，cos∠ANE=
因此直线AN与CM所成角的余弦值为23
故选：C.
7．已知直线y=x+1与曲线mx2+ny2=0(m0,n0)交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为
A．52 B．102 C．53
【答案】D
【解析】设Ax1,
则mx1
mx2
因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为32
由y=x+1y=32x得：A,B中点坐标为
且kAB
①-②可得mx
则-m
e=
故选：D
8．结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点Px0,y0,z0且一个法向量为n=a,b,c的平面α的方程为ax-x0+b
A．3,1,-2 B．3,1,2 C．-2,1,-3 D．2,1,3
【答案】A
【解析】由阅读材料可知：平面x-3y+7=0的法向量可取a=(1,-3,0)
平面4y+2z+3=0的法向量可取b=(0,4,2)
设直线l的方向向量m=(x,y,z)
则m?a=x-3y=0m?
故选：A.
二、多选题
9．已知函数f(x)=2sin-2x-π
A．x=2π3
B．fx与函数y=2
C．fx在区间0,
D．fx在区间0,π
【答案】AD
【解析】f(x)=2sin
令2x+π6=kπ+
当k=1时，x=2π3为f
y=2cos2x-π
令t=2x+π6，当x∈0,
显然y=-2sint在π6
当x∈0,π2时，t∈π6,7π6
故选：AD
10．已知函数f(x)=x2-2xxa，若函数F
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】BCD
【解析】Fx
则Fx在R上共有3
即Fx=0在R上有3个根，x1=-1，
又因为函数Fx=fx-x在
故选：BCD.
11．数学里常研究一些形状特殊的曲线，常用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线C:x12+y
A．周长大于25
B．共有4条对称轴
C．围成的封闭图形面积小于14
D．围成的封闭图形内能放入圆的最大半径为1
【答案】ABC
【解析】对A：由题意，在第一象限曲线C的方程为x+
即y=x-4x
当0x4,0y4时，曲线C在圆(x-4)2
因为x+y=2，可设x
则x-42+y-42
而cos4θ
=
=
=2cos4θsin4θ+1≥1（只有当cos
所以x-42+y-42≥16（只有x=0y=4和x=4
故0x4,0y4时，曲线C在圆(x-4)2+
即第一象限曲线C的长度大于圆(x-4)2+(y-4)
即曲线C的周长大于圆(x-4)2+(y-4)2=16的周长8
对B：由曲线C的方程为x1
因为x,-y，-x,y，y,x，-y,-x代入方程，方程都不变，
所以曲线C关于x轴，y轴，直线y=x和y=-x对称，共有4条对称轴，则选项B正确；
对C：由A选项的推证可知：曲线C围成的封闭图形的面积S8×8-π
则选项C正确；
对D：第一象限曲线C的方程为x+
所以x+y≥x+y22=2，x2+
所以曲线上距离原点的最短距离为2，因此围成的封闭图形内最大能放入半径为2的圆，
则选项D错误.
故选：ABC
三、填空