高级中学名校试卷
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湖南省永州市2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】集合，
又集合，
所以.
故选：B.
2.若复数z满足，则z在复平面内对应的点为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
则z在复平面内对应的点为.
故选：D.
3.已知为等差数列的前n项和，且，，则（）
A.40 B.45 C.50 D.55
【答案】B
【解析】因为，所以，
则.
故选：B.
4.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C.
5.的展开式的第4项系数是（）
A. B.280 C. D.560
【答案】A
【解析】的展开式的第4项系数是.
故选：A
6.已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（）
A. B.4 C. D.8
【答案】D
【解析】椭圆E：的长半轴长，半焦距，
则点为椭圆的左焦点，其右焦点为，
而直线恒过定点，
所以的周长为.
故选：D
7.若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】已知，可得．
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立．
移项可得在区间上恒成立，令，，则．
对求导，可得：．
令，即，因为恒成立，所以，解得或．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以在处取得极大值，也是最大值，．?
因为，所以实数的最小值为．?
故选：C．
8.如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”.若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（）
A.62 B.63 C.64 D.65
【答案】B
【解析】由题干条件，即，
也即数列的相邻两项之差严格递增，要使得正整数最大，则数列增长尽可能缓慢，
需要让相邻两项差值尽可能小，即相邻两项差值构成公差为1的等差数列，
因为，则，
，，所以，
采用累加法，
令，即，解得，
当时，，符合题意；
当时，，无法构造“速增数列”满足题意，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的有（）
A.具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强
B已知随机变量服从正态分布，且，则
C.数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30
D.若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
【答案】BCD
【解析】对于A，具有相关关系的两个变量x，y的相关系数越大，则x，y之间的线性相关程度越强，故A不正确；
对于B，随机变量服从正态分布，又，
所以，则，故B正确；
对于C，因为，所以数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30，故C正确；
对于D，由对称性知若频率分布直方图左右对称，则平均数等于中位数，
而若频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，故D正确.
故选：BCD.
10.已知函数，则（）
A.的最小正周期为 B.在区间上单调递增
C.曲线关于直线对称 D.
【答案】ABD
【解析】A，
，则是的周期，
假设其最小正周期，则对任意恒成立，
故当时，，即①，
当时，，即②，
当时，，即③，
①②两式相加得，
因，则，则或或，即或或，
经检验，当或时，①式不成立；当时，③式不成立，
故是的最小正周期，故A正确；
B，当时，
，
则在上单调递增，故B正确；
C，因，，
则，故曲线不关于直线对称，故C错误；
D，先证明，
令，则，则在上单调递减，
则，即，即，等号成立时，
当时，，
则当时有，
又因和均为偶函数，则恒成立且等号成立时，
则
，等号成立时，故D正确.
故选：ABD
11.已知平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是（）
A.若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分
B.点横坐标的取值范围是
C.若过点直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，则
D.对给定的点（），用表示的最小值，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】由于平面内动点到定点的距离与到定直线l：的距离之和等于6，
则，所以，
整理得轨迹为曲线：；
对于A，若，则轨迹为曲线化简得，