高级中学名校试卷
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湖南省娄底市2025届高三下学期4月教学质量检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
2.已知（）为纯虚数，则（）
A.1 B. C.2 D.4
【答案】C
【解析】依题意，，由为纯虚数，得，所以.
故选：C
3.已知向量，，则（）
A. B. C.34 D.65
【答案】A
【解析】由题意，得，故.
故选：A
4.某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】表示前两次测试成绩均及格，故A错误；
表示后两次测试都没有及格，故B错误；
表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确；
表示三次测试成绩均不及格，故D错误，
故选：C
5.（）
A. B.1 C. D.
【答案】B
【解析】，
，
于是.
故选：B．
6.长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（）
A.90 B.120 C.150 D.180
【答案】A
【解析】将6种美食平均分成3组，有种不同的分法，
该游客每天选择其中一组美食进行品尝，有种不同的选法，
所以这三天他选择美食的不同选法种数为种.
故选：A
7.已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（）
A.36 B.42 C.48 D.24
【答案】A
【解析】设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形，
因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，即，
不妨设该正六棱柱的高为h，则且，r取两者之中的较小者，
由点M到A，B，C，D，E，F的距离均为2，得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心，
因此正六棱柱的外接球半径，
若，则，；
若，则，，
于是当时，取得最小值，正六边形的面积为，
所以该正六棱柱的体积为.
故选：A
8.设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则（）
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】B
【解析】如图，设l：，，，
联立得，所以，，
所以，依题意，，所以．
而，，所以．因为，，
所以，则，所以.
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．
9.已知函数，则（）
A.的图象关于直线对称 B.在区间上单调递增
C.的最小正周期为 D.在点处的切线方程为
【答案】BD
【解析】对于A，由于，则不是的对称轴，故A错误；
对于B，当时，，
由余弦函数性质可知，在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数的最小正周期为，故C错误；
对于D，，，则在点处的切线方程为，故D正确．
故选：BD
10.化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（）
A.
B.乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中
C.
D.
【答案】AC
【解析】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小.
对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差
显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误；
故C正确;
而对于任何正态分布都有
故，故D错误.
故选：AC.
11.已知函数的定义域为D，若，，都有，则称是次可加函数，则（）
A.（）是次可加函数
B.（）是次可加函数
C.若，，，则次可加函数可以是周期函数
D.若，，，则次可加函数的表达式不唯一
【答案】ABD
【解析】对于和，有，
由，
所以，所以，
得，故A正确；
对于和，