高级中学名校试卷
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湖南省部分高中2025届高三下学期三模联考数学试
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不等式，解得，
不等式，解得，
所以集合，，，
故选：D.
2.若复数满足，则的实部为（）
A. B. C.1 D.2
【答案】A
【解析】由已知条件知：.
所以.
所以该复数的实部为-1.
故选：A.
3.若甲?乙?丙?丁?戊随机站成一排，则甲?乙不相邻的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】5个人随机排成一排的总排列数为：种.
将甲乙看成一个整体（捆绑法），此时相当于有4个人随机排列，排列数为，
而甲乙两人之间又有种排列顺序.
根据分步乘法计数原理，甲乙相邻的排列数为：种.
所以，甲乙不相邻的排列数为种.
根据古典概型概率公式可得，甲乙不相邻的概率为：.
故选：A.
4.若向量满足，且，则夹角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，.
∴，，，∴，
且，则，
故选：B.
5.已知（），则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，解得（舍去）或，
所以，则，
则.
故选：A
6.已知函数在时取极小值，则其导函数的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在时取极小值，
所以在处成立.
即：，所以.
当时，，
当时，，当时，，
所以在时取得极小值，故.
所以原函数表达式为：.
导函数的表达式为：
因为，所以根据基本不等式.
所以导函数的最小值为：.
故选：C.
7.如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面，点是平面内的动点，且满足线段的长度是点到的距离的2倍，则点的轨迹的长度为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵平面，平面，
∴即点到的距离为，
∴，
如图平面中以C为原点建立平面直角坐标系，
设，，，
∵，
∴，整理得，
即的轨迹是以为圆心，半径为4的圆上，
即点的轨迹的长度为，
故选：D.
8.已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由对称性，知轴，，，
四边形是正方形，则，，
则，，
则在双曲线上，
，即，
即，化简整理得，
即，所以，
即，又，故，
解得或（舍去）.
故选：C．
二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.数据的第80百分位数为11
B.已知随机变量，设，则的方差
C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D.若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
【答案】AB
【解析】对于A，由，得第80百分位数为11，A正确；
对于B，，则，因此，B正确；
对于C，简单随机抽样，从51个个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率相等，都是，C错误；
对于D，依题意，的平均数为，D错误.
故选：AB
10.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.的最小正周期为
B.的图象关于点对称
C.在区间上的值域为
D.若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】因为
，
对于A选项，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，因为，故的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，则，
所以，，
故在区间上的值域为，C对；
对于D选项，若的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，
即函数为偶函数，
故，解得，
因为，故当时，取最小值，D对.
故选：BCD.
11.对于无穷数列，下列命题中正确的是（）
A.若既是等差数列，又是等比数列，则是常数列
B.若等差数列满足，则是常数列
C.若等比数列满足，则是常数列
D.若各项为正数的等比数列满足，则是常数列
【答案】ABD
【解析】对于A选项，若数列既是等差数列又是等比数列.
对于等差数列，有（为公差）；对于等比数列，有（为公比且）.
若，那么，不是常数，这与等比数列性质矛盾.所以，即，所以是常数列，A选项正确.
对于B选项，等差数列满足.
设等差数列的公差为，若，当足够大时，会无限增大，不可能始终满足.
只有当时，，才能满足，所以是常数列，B选项正确.
对于C选项，等比数列满足.
例如等比数列，，