高级中学名校试卷
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湖北省黄冈市文海大联考2025届高三下学期信息卷
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，
且，所以.
故选：D.
2.已知虚数单位，复数满足，则（）
A. B.5 C. D.2
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A.
3.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
所以在方向上的投影向量为
故选：B.
4.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由可得，
解得，
故，
故选：B
5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点，
因为正四棱锥侧面积为，则，解得，
故，取的中点，连接，故，
则正四棱锥的高，
其中，则，
其中，
则，即，解得，
则该四棱锥的外接球的表面积
故选：B.
6.设函数，对有成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知在上单调递增，
所以，解得，
故选：A.
7.不等式对任意恒成立，则的最小值为（）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．当时，若对任意恒成立，则；当时，对于恒成立，则当时，，与已知矛盾；当时，在上单调递增，则要使得在时恒成立，必有成立．所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故选：B．
8.二元函数表示有两个自变量的函数，其中，如为一个二元函数．设为正整数，二元函数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知，
则，
，
以此类推，，则，
又，
则，
，
以此类推，，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（）
A.随机变量，且，则
B.随机变量Y服从两点分布，且，则
C.对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强
D.在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意得，，，
则，故A正确；
对于B，因为两点分布的，
所以，
所以，故B正确；
对于C，因为，且，
所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误；
对于D，由的展开式知，取，得，
取，得，
两式相减可得，，所以，
所以的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确.
故选：ABD．
10.已知函数，则（）
A.为其定义域上的增函数 B.为偶函数
C.的图象与直线相切 D.有唯一的零点
【答案】AD
【解析】由题意，
在中，定义域为，
，
∴为上的增函数，A正确；
，
∴为奇函数，B错误；
∵当时，解得：，
此时，
∴斜率为0的切线为，不可能为直线，
∴C错误；
为上的增函数，，
∴有唯一的零点，D正确.
故选：AD.
11.如图，圆锥的顶点为，将半径为的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆，平面与球切于点为圆上一点，四点共面，且平面，平面截该圆锥所得截口曲线为为曲线上一动点，记圆所在平面为平面，垂足为交圆于点，，则下列选项正确的有（）
A.
B.
C.是双曲线的一部分
D.若越大，则曲线的开口越大
【答案】ABD
【解析】因为均为球的切点，易得，A正确；
设平面平面，直线交于，
因为，所以，
因为，所以，
，所以，
由平面，
所以平面，
平面，
所以，
又，所以，
因为，所以正确；
作垂直平面于H，又因为，
所以，
由等角定理可得，
平面，
得≌，
，
又均为球的切点，则易得，
所以恒有，
即，其中为定点，为到定直线距离，
所以的轨迹为拋物线，C错误；
圆锥过的轴截面，如图所示，
取中点，易知为的中点，
所以，所以，
，
在平面内，若以为坐标原点，为轴正向，可得方程为可得该抛物线的开口随着的增大而增大，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的