高级中学名校试卷
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黑龙江省大庆市2025届高三下学期第三次教学质量检测
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】集合，，则
故选：B.
2.在等差数列中，若，则（）
A.270 B.225 C.180 D.135
【答案】C
【解析】因为数列是等差数列，所以，
则.
故选：C.
3.在复平面内，点对应的复数为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】点对应的复数，
则，
所以.
故选：D
4.若随机变量，且，则的最小值为（）
A.18 B. C.24 D.27
【答案】C
【解析】由题意可得，则，
所以，
易知当时，的最小值为.
故选：C.
5.若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
.
故选：A.
6.如图所示，在中，，，点是的中点，点在上，且.若，则（）
A.6 B.8 C. D.
【答案】B
【解析】由，得，由点是的中点，，
得，，
则
，解得.
故选：B.
7.已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（）
A.2 B.3 C.6 D.9
【答案】B
【解析】由函数的值域为，得，
由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得，
则，则，而函数与的值域相同，
所以函数的最大值为3.
故选：B
8.某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（）
A. B. C.D.无法确定与的大小关系
【答案】A
【解析】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲选中的盲盒有奖”，则，
在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品，
甲更换盲盒后，
若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后，
因此，
由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则，
于是，所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列关于函数的说法正确的是（）
A.要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
B.函数的图象关于对称
C.函数在区间上单调递减
D.若，且，则
【答案】BD
【解析】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则.右移个单位，变为，得到，与选项描述不符，所以A错误.
对于B选项，若函数图象关于对称，则取最值.，，是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确.
对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误.
对于D选项，正弦函数周期，中，.
，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确.
故选：BD.
10.在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（）
A.平面
B.若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值
C.棱锥的外接球的体积为
D.若点为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为2
【答案】BC
【解析】对于选项A，若平面，根据线面垂直的性质，可得.
因为，根据平行线的传递性，所以.又因为，且，平面，根据线面垂直的判定定理，可证平面，所以.但在正方体中不垂直于，这相互矛盾，所以不垂直于平面，故A错误.
对于选项B，易知平面，根据线面平行的性质，可知上的点到平面的距离相等.三棱锥的体积（为点到平面的距离），由于上点到平面距离相等，所以不变.
又因为，所以三棱锥的体积为定值，故B正确.
对于选项C，分别以，，为长、宽、高构造长方体，由于长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，且该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同.
设外接球半径为，已知，，的值，根据长方体体对角线公式（为体对角线，分别为长方体的长、宽、高），可得，则.
根据球的体积公式，可得，故C正确.
对于选项D，取的中点，取的中点，连接，，，易知平面平面.
因